Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Сферой называется поверхность, полученная вращением окружности вокруг какого-либо ее диаметра (рис. 180). Центр этой окружности называется центром сферы.

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы, отрезок, соединяющий две точки сферы, — хордой сферы, а хорда, которой принадлежит центр сферы, — диаметром сферы (рис. 181).

Из определения сферы следует, что все ее точки равноудалены от центра сферы. Поэтому все радиусы сферы равны друг другу.

Теоремы

Теорема 1.

Сечение сферы плоскостью есть окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.

Доказательство:

Пусть сфера с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — произвольные точки линии пересечения сферы с плоскостью Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Треугольники Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами оба прямоугольные, так как отрезок Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярен плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, а значит, и отрезкам Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами лежащим в этой плоскости.

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Отрезок Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами является общим катетом, а гипотенузы этих треугольников равны как радиусы сферы. Поэтому треугольники Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равны друг другу, а значит, Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами Получили, что любые две точки линии пересечения сферы плоскостью Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равноудалены от основания Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость. Значит, эта линия является окружностью с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Следствие. Радиус Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами где Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — радиус сферы.

Сечение имеет наибольший радиус Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами если секущая плоскость проходит через центр сферы, это сечение называют большой окружностью, а ограниченный ею круг — большим кругом.

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью сферы. Общая точка сферы и касательной плоскости называется точкой касания.

Прямая касательной плоскости сферы, проходящая через точку касания, имеет со сферой единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой сферы.

Теорема 2.

Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами касается сферы с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами в точке Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 183). Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — произвольная точка плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, отличная от точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Через точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проведем плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, она по теореме 1 пересекает сферу по окружности. По отношению к этой окружности прямая Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами является касательной, так как точка Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — их единственная общая точка. По свойству касательной к окружности радиус Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярен прямой Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Таким образом, радиус Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярен любой прямой Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, проведенной в плоскости а через ее точку Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Значит, радиус Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярен плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 3.

Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной плоскостью сферы.

Доказательство:

Пусть плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проходит через точку Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами сферы и перпендикулярна радиусу Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 184). Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — произвольная точка плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, отличная от точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Треугольник Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами прямоугольный с гипотенузой Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и она длиннее катета. Поэтому точка Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами расположена вне сферы. Получается, что любая точка плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, кроме точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, не принадлежит сфере. Значит, точка Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — единственная общая точка плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и сферы, а поэтому плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами является касательной плоскостью сферы.

Теоремы 2 и 3 выражают соответственно свойство и признак касательной плоскости сферы.

Теорема 4.

Две сферы пересекаются по окружности, плоскость которой перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер.

Доказательство:

Пусть имеются две пересекающиеся сферы с центрами Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — какая-либо их общая точка (рис. 185). Через точку Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проведем плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, перпендикулярную прямой Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть эта плоскость пересекает прямую Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами в точке Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. В соответствии с теоремой 1 плоскость Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами пересекает одну и другую сферы по окружности с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Получили, что окружность с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами является общей окружностью данных сфер.

Других общих точек данные окружности не имеют. Допустим, что это не так. Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — какая-либо общая точка сфер, не принадлежащая окружности с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Через точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проведем плоскость, которая пересечет сферы по окружностям с центрами Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Эти окружности пересекаются в двух точках, которые принадлежат окружности с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и вместе с этим им обеим принадлежит точка Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Но это противоречит утверждению о том, что две окружности имеют не более двух общих точек.

Прежде чем доказывать утверждение о поверхности сферы, обобщим утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра.

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса, усеченного конуса, цилиндра равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным длине перпендикуляра, соединяющего середину образующей с точкой на оси этого тела.

Доказательство:

Пусть есть конус с вершиной Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, основанием которого является круг с центром Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — осевое сечение конуса (рис. 186). В плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами к образующей Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами из ее середины Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами возведем перпендикуляр, который пересечет ось Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами в некоторой точке Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Прямоугольные треугольники Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами подобны, так как у них угол при вершине Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами общий. Поэтому Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами или Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами или Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Отсюда Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

С учетом этого для боковой поверхности Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами конуса будем иметь:

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пусть есть усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами со средней линией Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами вокруг боковой стороны Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами которая перпендикулярна основаниям Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, отрезок Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — проекция Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами на основание Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 187).

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

В плоскости Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами к образующей Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченного конуса из ее середины Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами возведем перпендикуляр, который пересечет ось Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами в некоторой точке Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Прямоугольные треугольники Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами подобны, так как их стороны попарно перпендикулярны. Поэтому Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Отсюда Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

С учетом этого для боковой поверхности Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченного конуса будем иметь:

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Для цилиндра утверждение очевидно (рис. 188).

Теорема 6.

Поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга:

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть сфера, образованная вращением полуокружности Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами вокруг своего диаметра (рис. 189). Впишем в эту дугу ломаную Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с равными звеньями и из точек Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами опустим перпендикуляры Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами на диаметр Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — середины звеньев ломаной. Тогда Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — серединные перпендикуляры к этим звеньям. При вращении вокруг Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами звенья ломаной будут описывать или конусы, или усеченные конусы, или цилиндр. Поэтому, в соответствии с теоремой 5, для образовавшейся поверхности Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами получим

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Учтем, что отрезки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами все равны друг другу:

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пусть радиус сферы равен Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Тогда Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Будем неограниченно увеличивать количество звеньев ломаной. Тогда отрезок Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами будет стремиться к радиусу сферы, а выражение Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — к выражению Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами т. е. к выражению Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами Этот предел и принимается в качестве площади поверхности сферы.

Учитывая, что Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами выражает площадь большого круга, получим, что поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга.

Уравнение сферы

Определение: Сферой радиуса R называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки (центра) равно R.

Выведем уравнение сферы. Пусть Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — центр сферы радиуса Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — произвольная точка, лежащая на этой сфере (рис. 204). Тогда СМ = R. По формуле расстояния между двумя точками имеем

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Приравнивая это выражение R, получим уравнение сферы

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

или окончательно

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Если центр сферы совпадает с началом координат, то х0 = 0, у0 = 0, Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами = 0 и уравнение сферы принимает вид

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пример:

Определить координаты центра и радиус сферы

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Решение:

Объединяя члены, содержащие одноименные текущие координаты, и дополняя их до полных квадратов, будем иметь

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Следовательно, центр сферы находится в точке Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и радиус ее

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Заметим, что совокупность

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

уравнений сферы и плоскости определяет окружность, по которой пересекаются плоскость и сфера (если это множество не пусто). В частности, если Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то совокупность этих уравнений изображает окружность большого круга.

Уравнение окружности можно также писать в параметрическом виде.

Пример:

Написать параметрические уравнения меридиана сферы

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

проходящего через полюсы Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, если плоскость меридиана образует угол а с координатной плоскостью Охг (рис. 205).

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Решение:

За параметр текущей точки Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами меридиана примем угол Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — широту этой точки, где Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — проекция точки М на координатную плоскость Оху . Так как Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, то из рис. 205 имеем

Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

где Сфера в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами