Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Понятие о динамических рядах:

Динамическим рядом называют ряд показателей, характеризующих величину какого-либо явления по состоянию в определенные моменты или периоды (интервалы) времени. Существует три разновидности динамических рядов:

а) Моментные ряды, образованные показателями, измеряющими явление на определенные моменты времени.

Пример 1. Списочная численность рабочих предприятия.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

б) Интервальные ряды, образованные показателями, измеряющими явления за какой-нибудь промежуток времени или интервал.

Пример 2. Фонд заработной платы рабочих предприятия.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

в) Ряды производные (средних или относительных величин), образованные показателями, характеризующими моменты или интервалы времени с помощью средних или относительных величин.

Пример 3. Среднемесячная заработная плата рабочих предприятия.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Приемы обработки динамических рядов

Очень часто уровни динамических рядов колеблются; при этом тенденция (основное направление) развития явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. Поэтому возникает необходимость преобразования рядов для выявления закономерностей его развития.

Разберем некоторые приемы преобразования рядов.

1. Использование среднего абсолютного прироста. Приростами динамического ряда называются разности между последующими уровнями ряда и предыдущими (обозначаются Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения). Так, если имеется динамический ряд: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения то приросты получатся соответствующим вычитанием:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Число приростов на единицу меньше числа уровней ряда, т. е. составляет n—1. Найдем средний прирост ряда:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Найденный средний абсолютный прирост позволяет путем последовательного прибавления его к первому фактическому уровню найти последующие уровни, отличающиеся от фактических тем, что они вычислены в предположении их плавного возрастания (или убывания), без скачков.

Рассмотрим такое преобразование динамического ряда на. примере.

Пример 4. Преобразуем ряд динамики месячного фонда заработной платы рабочих, приведенный в табл. 2, способом среднего прироста.

1)    Находим средний прирост по формуле Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

где Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

2)    Находим плавные уровни:

  • а)    второй Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решенияМатематическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
  • б)    третий Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
  • в)    четвертый Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Располагаем фактические и исчисленные данные в одну таблицу.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При таком преобразовании первый и последний уровни остаются без изменения.

2. Использование среднего коэффициента или темпа роста. Коэффициентом роста называют отношение последующего уровня ряда динамики к предыдущему уровню того же ряда. Если выразить коэффициент роста в процентах, то получим темп роста.

Имеется динамический ряд:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициенты роста (обозначаются Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения) будут представлять собой отношения:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что число коэффициентов роста (так же, как и приростов) меньше числа уровней на единицу.

Вычисление среднего коэффициента роста производят по формуле средней геометрической.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
где n — число коэффициентов роста.

Учитывая, что произведение всех коэффициентов роста равно

отношению последнего уровня (Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения) к первому (Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения) и заменяя Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения равным ему отношением Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
где n — число уровней.

Найденный средний коэффициент роста используется аналогично использованию среднего абсолютного прироста (см. предыдущий пример) с той разницей, что первый фактический уровень умножается на средний коэффициент роста в соответствующей степени.

Пример 5. Используя данные табл. 2, преобразовать ряд динамики месячного фонда заработной платы рабочих способом среднего коэффициента роста.

Решение: 1) Находим средний коэффициент роста:Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

откуда Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

2) Находим плавные уровни:

а)    второй плавный уровень: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

б)    третий плавный уровень: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решенияМатематическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

в)    четвертый уровень: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения Располагаем фактические и преобразованные данные в одну таблицу.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Механическое сглаживание

Кроме рассмотренных приемов преобразования динамических рядов, для нахождения плавных уровней путем использования среднего прироста или среднего коэффициента роста применяется метод механического сглаживания ряда скользящей средней.        

Существует две разновидности сглаживания: методом невзвешенной и взвешенной скользящей средней. 

Невзвешенная скользящая средняя. Применение метода сглаживания невзвешенной скользящей средней состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. При выборе этих периодов мы производим скольжение, постепенно исключая из периода первые уровни и включая последующие.

Различают два случая: 1) когда период сглаживания состоит из нечетного числа членов; 2) когда период сглаживания состоит из четного числа членов.

Разберем 1-й случай.

Пример 6.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Требуется сгладить ряд методом незвешенной скользящей средней с трехдневным периодом (взято нечетное число дней).

Решение. Для сглаживания ряда методом скользящей средней (с трехчленным периодом) строим следующую таблицу:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При использовании этого способа найденные скользящие средние (колонка 4) располагаются в середине (центре) периода (первая скользящая средняя относится ко второму дню, вторая— к третьему дню и т. д.), т. е. являются центрированными.

После вычисления скользящих средних их вместе с фактическими данными наносят на график (см. график 1).
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Разберем второй случай (с четным числом членов периода).

Пример 7. По данным примера 6 сгладить ряд методом невзвешенной скользящей средней с четырехдневным периодом (взято четное число дней).

Решение. Для сглаживания ряда методом скользящей средней (с четырехчленным периодом) строим следующую таблицу:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При использовании этого способа следовало найденные скользящие средние с четырехчленным периодом (колонка 4), как и в первом случае — с трехчленным периодом, — отнести к центру периода. Но этот центр не совпадает с определенной датой. Поэтому прибегают к приему, называемому центрированием и состоящему в нахождении средних (центра) между каждой парой уже найденных скользящих средних. Полученные средние называются центрированными средними (колонка 5).

После вычисления центрированных скользящих средних их вместе с фактическими данными наносят на график.

Взвешенная скользящая средняя. Вторая разновидность этого метода сглаживания состоит в применении взвешенной скользящей средней. Для определения весов можно представить себе многократно повторенное сглаживание скользящей средней с двучленным периодом.

Первые скользящие средние:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и т.д.
Используя найденные скользящие средние, получаем вторые скользящие средние (для трехчленного периода):

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Еще одно применение скольжения (для четырехчленного периода) дает:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и далее для пятичленной средней:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Веса уровней ряда при сглаживании образуют коэффициенты бинома:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Ограничиваясь пятичленной взвешенной скользящей средней, рассмотрим ее практическое использование. Этот метод можно применять путем использования трафарета, имеющего следующий вид:

  • Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Этот трафарет прикладывается (слева) к фактическим данным, подлежащим сглаживанию.

Умножая фактические данные на веса (коэффициент трафарета), находим сумму произведений. Первую сумму записываем против коэффициента 6, затем передвигаем трафарет на одну строку вниз и умножением фактических данных на коэффициенты трафарета находим вторую сумму и т. д. Все найденные суммы делятся на 16 (сумму всех весов).

Пример:

По данным примера 6 сгладить ряд методом взвешенной скользящей средней с пятичленным периодом.

Решение. Располагаем все данные в таблицу и производим соответствующие расчеты передвижением трафарета на одну строку вниз.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Аналитическое выравнивание

Очень часто для преобразования динамического ряда применяют аналитическое выравнивание. Имеются следующие фактические уровни ряда:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Характер изменения этих уровней, т. е. движения динамического ряда, может быть различным. Нашей задачей является нахождение такой простой математической формулы, которая давала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование, предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней, должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней. Нахождение этой формулы называется аналитическим выравниванием, представляющим собой не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных. При этом обычно употребляют ограниченное число типов таких формул: прямой линии, параболы второго или третьего порядка, гиперболы и показательной функции. Общие соображения при выборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание, могут быть сведены к следующим:

1) Если абсолютные приросты уровней ряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математической функцией, уравнение которой можно принять за основу аналитического выравнивания, следует считать прямую линию: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения читается как у, выравненный по t.

Если приросты приростов уровней, т. е. ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основу аналитического выравнивания следует принять параболу второго порядка:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Показатели Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения представляют собой в каждом отдельном случае выравнивания постоянные величины, называемые параметрами: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения — начальный уровень (при условии, что первое значение t есть нуль); Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения — начальная скорость ряда и Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения ускорение или вторая скорость.

3) Если уровни изменяются с приблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производится по показательной (экспонентной) функции:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней динамического ряда, применяют различные способы. Один из способов состоит в расчленении динамического ряда на две примерно^ равные части; при этом сумма выравненных значений в каждой части должна совпадать с суммой фактических значений, или, иными словами, сумма отклонений фактических данных от выравненных равняется нулю, т. е.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения (см. график 2).

Это требование может быть записано в таком виде:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения или в случае прямой линии Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Если применить это требование к каждой из двух частей ряда, то, вычисляя для каждой части динамического ряда все необходимые данные, т. е. Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения получим два уравнения с двумя неизвестными. В результате решения этой системы уравнений находятся параметры Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения т. е. начальный уровень и скорость ряда.

Недостатком указанного метода является то, что при произвольном расчленении ряда на две части (группы) мы получаем различные результаты. Несмотря на это, данный способ может найти широкое применение.  

Пример 9.

Рассмотрим применение описанного способа на конкретных данных. Возьмем из примера 6 данные о добыче угля и произведем выравнивание уровней по прямой:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Так как имеются данные за 15 дней, то расчленение периода на примерно равные части дает в первой 7, во второй 8 дней.

Имеем: для первой части Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

для второй части Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Составляем систему уравнений:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Уравниваем коэффициенты при ао путем умножения первого уравнения на —8, а второго на + 7.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
откуда
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Следовательно, аналитическое уравнение прямой примет следующий вид:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя значения t в найденное уравнение, получаем: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
и т. д. (см. табл. 11).
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из разобранного примера, выравненные данные довольно хорошо воспроизводят фактические. Сумма их отклонений от фактических уровней равна нулю. При выравнивании по параболе второго порядка Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения (где нужно знать три параметра) весь ряд следует расчленить на три части и решать систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Второй способ — наименьших квадратов — основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выравненных (см. график 2) была наименьшей:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

,S должно быть наименьшим (минимальным).

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Из курса высшей математики известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частные производные и приравнять их нулю. Найдем минимум данной функции, используя уравнение прямой линии.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
имеем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

заменяем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Находим частные производные функции S сначала по параметру Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения а затем по Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решенияи приравниваем их нулю.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Преобразовывая, получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

На основании свойства сумм (см. стр. 11) выносим Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения за знак суммы.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения при выравнивании по прямой линии.

Аналогично получаем систему нормальных уравнений при выравнивании по параболе второго порядка:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Выравнивание по прямой линии

Покажем выравнивание по прямой линии на следующем примере.

Пример 10.

Поданным примера б произвести выравнивание по прямой линии методом наименьших квадратов.

Решение. Аналитическое уравнение прямой линии имеет вид:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения параметров Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения следует решить систему нормальных уравнений:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Для вычисления всех необходимых исходных данных построим расчетную таблицу (см. табл. 12).

Составляем систему нормальных уравнений:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Уравниваем коэффициенты при Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Значит, Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Из первого уравнения находим Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

После определения Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения составляем аналитическое уравнение:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя значения t, получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и т. д. (см. колонку 6, табл. 12).
 При заполнении колонки 3 со значениями t производим нумерацию дат. Так, если бы в примере были годы или дни (понедельник, вторник и т. д.), мы, прибегая к нумерации, вели бы счет с первой даты, принимая t равным единице, двум и т. д.
Итог колонки 3 может быть найден без суммирования по формуле:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Проверим наш пример:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Итог колонки 4 можно определить по формуле и без предварительно, го возведения в квадрат всех значений t:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

После вычислений всех значений Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения наносим фактические данные и выравненные по прямой линии на один график (см. график 1, стр. 212).

Упрощенный метод выравнивания по прямой линии

Выравнивание по прямой линии методом наименьших квадратов можно значительно упростить соответствующим подбором способа отсчета t так, чтобы Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения При этом различают два случая:

  1. Когда число членов динамического ряда нечетное, то следует отсчитывать t от середины ряда. При таком отсчете значение серединной даты (или периода) динамического ряда принимается равным 0, ранние даты имеют отрицательные значения (—1; —2; —3 и т. д.), а поздние даты — положительные значения (1; 2; 3 и т. д.).
  2. Когда число членов ряда четное, то в этом случае для соблюдения требований о равных интервалах между всеми значениями t и о том, чтобы сумма всех значений t равнялась нулю, подбор t производится так: находится серединная пара дат (или периодов), и значения t для нее принимают —1 и +1, а далее вверх идут —3; —5; —7 и т. д., и вниз +3; +7; +9 и т. д.

При таком способе отсчета t система нормальных уравнений упрощается и принимает вид:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения (средняя арифметическая);

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Пример 11.

Для практического использования данного метода рассмотрим предыдущий пример.

Выравнивание по прямой линии (упрощенным методом) (см. табл. 13).

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда аналитическое уравнение примет вид:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При различных значениях t получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и т. д. (см. колонку б табл. 13).

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Фактические данные и выравненная прямая изображены на графике 3.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Следует заметить, что в случае выравнивания по прямой линии упрощенным методом параметр Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения продолжает играть ту же роль, что и при обычном выравнивании, т. е. представляет собой скорость ряда; значение параметра Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения изменяется. Если при обычном выравнивании Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения—это начальный уровень, то при упрощенном методе выравнивания Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения—это средний уровень явления (см. график 3).

Выравнивание по параболе второго порядка

Аналитическое уравнение параболы имеет вид:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Что касается системы нормальных уравнений, то подбором способа отсчета t упростим нахождение параметров, так как

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Получим:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Пример 12.

В табл. 14 приведены данные о производстве изделия А по годам.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Выровнять эти данные по параболе второго порядка и изобразить графически.

Решение. Для получения сумм, входящих в систему нормальных уравнений, построим расчетную таблицу.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Составляем систему нормальных уравнений:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
откуда

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Делим первое уравнение на 9, а второе на 60:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом,

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Производим проверку найденных параметров:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Аналитическое уравнение параболы примет следующий вид: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
 

После решения системы нормальных уравнений всегда следует проверить найденные параметры. Однако в дальнейшем производить проверку на страницах пособия мы не будем, предоставляя возможность читателю сделать это самостоятельно, путем подстановки в нормальные уравнения.

Подставляя значения t (от —4 до +4), получим выравнен ные значения производства изделия А (см. колонку 8 табл.15)
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Теперь можно построить график, изобразив фактические данные и выравненные по параболе второго порядка аналогично тому, как это было показано при сглаживании методом скользящей средней и выравнивании по прямой линии.

Выравнивание по показательной (экспонентной) функции производится в том случае, если уровни изменяются с более или менее постоянным относительным приростом (по правилу сложных процентов). Выравнивание производится по следующей формуле: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения В этом случае параметры Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путем решения системы нормальных уравнений:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При способе отсчета t таким образом, чтобы Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения=0, мы получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

откуда
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
и

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
откуда
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Пример 13.

Для иллюстрации произведем выравнивание по показательной функции динамического ряда, рассмотренного в примере 12 (см. табл. 14). Для получения исходных данных построим расчетную табл. 16.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Получаем:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
откуда Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Аналитическое уравнение показательной кривой примет вид: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляем значения t и получаем (см. колонку 7 табл. 16):
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Полученные выравненные уровни, а также фактические данные можно нанести на график.

В некоторых случаях более сложного изменения уровней динамического ряда можно применять выравнивание по параболе второго порядка с логарифмированием уровней по формуле:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Это будет означать выравнивание уровней по показательной функции следующего вида:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

В этом случае параметры Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения определяются методом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

При условии Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Пример 14.

Проиллюстрируем ход действий при выравнивании динамического ряда по. показательной функции Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения (упрощенным способом), используя данные предыдущего примера.

Получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

откуда

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя значения t, равные —4, —3, —2 и т. д., получаем значения Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения (см. колонку 9 табл. 17).

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Интерполяция уровней

Интерполяцией называется нахождение промежуточных неизвестных уровней динамического ряда при наличии известных соседних уровней. 

Интерполяция может производиться различными способами: 

1) путем использования только двух уровней и 2) путем использования нескольких уровней.

Различные предположения о динамике развития явления при интерполяции приводят, естественно, к различным результатам. Поэтому практически при выборе того или иного предположения о тенденции развития изучаемого явления обычно просматривают динамический ряд до или после (можно и одновременно) интерполируемого периода и приходят к тому или иному заключению.

Рассмотрим применение интерполяции на конкретных примерах. 

1. Имеются данные о выпуске продукции за 1956 и 1958 гг. Требуется произвести интерполяцию и вычислить предполагаемый уровень 1957 г.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

а) Предполагая, что выпуск продукции увеличивался с постоянным приростом, равным

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и, прибавляя его к начальному уровню, получим уровень 1957 г.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Это равносильно определению уровня 1957 г. как полусуммы продукции 1956 и 1958 гг.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

б) Предположим, что уровни .выпуска продукции за эти годы менялись с постоянным (средним) коэффициентом роста. Найдем его:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

2. а) Пусть наряду с двумя известными уровнями выпуска продукции за 1956 и 1958 гг. известен еще один уровень, за 1955 г., равный 3 тыс. руб. Тогда, предполагая, что изменение выпуска продукции происходило по параболе второго порядка, получим:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Составляем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Вычитая из второго уравнения первое, получим новое уравнение уже не с тремя, а с двумя неизвестными:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Вычитаем из третьего уравнения второе:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Получилась система двух уравнений с двумя неизвестными:Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Решим ее:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляя значения Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения в первое уравнение, получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения  тыс. руб.

Этот же результат можно получить, пользуясь методом конечных разностей. Зная уровни, найдем первые и вторые разности.

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Если исходить из предположения об изменении выпуска продукции по параболе второго порядка, то вторые разности (т. е. ускорения) должны быть постоянными.

Тогда

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

б) Интерполяция путем использования нескольких уровней, предшествующих неизвестным и последующих за ними, может быть произведена при помощи выравнивания способом наименьших квадратов.   

Например, имеются уровни за 1954, 1955, 1956, 1959, 1960 и 1961 гг. Методом интерполяции рассчитать уровни 1957 и 1958 гг.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Предполагая, что уровни 1957 и 1958 гг. укладываются в общую тенденцию изменения уровней, произведем выравнивание по прямой линии способом наименьших квадратов, используя следующую таблицу:
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
Значит, Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, для 1957 г. при ( t=— 1)

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

а для 1958 г. (при t= + l).

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Данным методом пользуются в тех случаях, когда уровни определенных периодов известны, но искажены действием каких-либо факторов, влияние которых необходимо оценить. Достигается это нахождением разностей между фактическими и выравненными уровнями.

Пусть нам известны уровни 1957 г.— 13. и 1958 г. — 16 единиц, искаженные действием определенного фактора (изменение, например, технологического процесса в эти годы или др.). Тогда можно оценить суммарное воздействие данного фактора на величину уровней (см. табл. 23).

Интерполяция в демографической статистике

Имеется ряд способов интерполяции, разработанных применительно к статистике населения. Они применяются при использовании надежных данных о численности населения по пятилетним интервалам для сглаживания возрастного распределения (т. е. интерполяции) и нахождения численности населения по каждому годичному интервалу внутри пятилетних интервалов, для сглаживания таблиц смертности и т. п.

Идея этих способов состоит в использовании скользящих, парабол различных порядков. Из числа этих способов рассмотрим два.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

1) Способ С. А. Новосельского основан на применении для каждого пятилетнего интервала своей параболы второго порядка: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения где х — возраст; Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения—выравненное значение численности населения в каждом возрасте; Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения и Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения— параметры, определяемые по суммарной численности населения трех пятилетних интервалов: сглаживаемого и двух примыкающих к нему. Построим таблицу и введем в нее соответствующие обозначения (см. табл. 24).

Получив систему трех уравнений:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

и решая ее относительно параметров Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения получаем: Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Теперь можно получить сглаженные значения численности каждого годичного интервала:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Если нужно произвести интерполяцию и получить сглаженные численности населения каждого годичного интервала из следующего пятилетнего интервала, обозначения соответственно меняются.

Этот метод впервые был применен для устранения аккумуляции возрастного распределения населения по переписи 1897 г.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

при построении таблиц смертности 1896—1897 гг. Недостатком данного метода является плохое смыкание парабол соседних пятилетних интервалов.

Пример 15.

Используя данные переписи населения 1897 г. по Европейской России о численности мужчин, произведем интерполяцию возрастного интервала 45—49 лет и найдем сглаженные численности возрастов 45, 46, 47, 48 и 49 лет.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

а далее, используя вышеприведенные формулы, получаем:Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Если сопоставить непосредственные данные, взятые из результатов переписи 1897 г. и искаженные аккумуляцией, со сглаженными, то увидим, что сумма фактических сглаженных данных по пятилетнему интервалу совпадает.

2) Способ Б. С. Ястремского, основанный на применении парабол третьего порядка, позволяет лучше смыкать соседние интервалы.

Имеем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения четырех параметров Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения привлекают 4 десятилетних интервала, каждая смежная пара которых имеет по одному общему пятилетнему интервалу. Решая задачу в общем виде и привлекая численности населения еще двух пятилетних интервалов, примыкающих к тем, которые были использованы при способе С. А. Новосельского, т. е. Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения Б. С. Ястремский получил следующую систему уравнений (сохраняем взятую символику):

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Пример 16.

Используя данные предыдущего примера о численности мужского населения по переписи 1897 г. для трех пятилетних интервалов и привлекая дополнительно данные о численности населения в пятилетних интервалах 35—39 и 55—59 лет, произведем интерполяцию пятилетнего интервала 45—49 лет.
Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Подставляем и получаем:

Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения
и далее аналогично для всех последующих возрастов.Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения

Метод Б. С. Ястремского применялся при разработке материалов переписи 1920 г.

Экстраполяцией называется нахождение последующих уровней динамического ряда, когда предыдущие уровни известны, Для этой цели может быть использовано выравнивание уровней динамического ряда по способу наименьших квадратов и подстановка в полученное аналитическое уравнение соответствующих значений t.

Так, например, если мы, выравнивая уровни какого-нибудь ряда по параболе второго порядка, с 1956 по 1962 г., получили аналитическое уравнение Математическая обработка динамических рядов - определение и вычисление с примерами решения и если у нас есть основания предполагать, что в 1963 и 1964 гг. данная тенденция не изменится, то, подставив в аналитическое уравнение значения t, равные 8 и 9, получим предполагаемые уровни.