Имеется запас средств K, который должен быть распределен между m = 5 предприятиями П1, П2, …, П5. Каждое из предприятий Пi при вложении в него каких-то средств x приносит доход

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17370
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Имеется запас средств K, который должен быть распределен между m = 5 предприятиями П1, П2, …, П5. Каждое из предприятий Пi при вложении в него каких-то средств x приносит доход, зависящий от x, т.е. представляющий собой какую-то функцию φi(x). Все функции φi(x) (i = 1, 2, …, m) заданы (разумеется, эти функции – неубывающие). Необходимо: а) сделать вербальную и математическую постановку задачи; б) решить задачу в соответствии с вариантом – распределить средства K между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход.

Требуется найти переменные 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 удовлетворяющие системе ограничений (2) и обращающие в максимум функцию (1). В данном случае дано распределение 30 ед, поэтому дополним таблицу до 33 ед следующим образом. Если предприятию №1 распределено 30 ед, то оставшиеся 3 ед распределяется предприятию 4 и тогда для 33 д.ед. получаем прибыль 23,64+6,48=30,12 д.ед.. Если предприятию №2 распределено 30 ед, то оставшиеся 3 ед распределяется предприятию 1 и тогда для 33 д.ед. получаем прибыль 23,59+9,47=33,06 д.ед. и т.д.

Схема решения задачи ДП имеет вид: процесс решения распределения средств 𝑠0 = 33 можно рассматривать как 5-шаговый, номер шага совпадает с номером предприятия; выбор переменных 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5 - управление соответственно на I, II, III, IV, V шагах. 𝑠̃– конечное состояние процесса – равно нулю, так как все средства должны быть распределены. Уравнения состояний в данной задаче имеют вид:

Где 𝑠𝑘 – параметр состояния – количество средств, оставшихся после k-го шага, то есть средства, которые останется распределить между оставшимися 5-k предприятиями. Ведем в рассмотрение функцию 𝑍𝑘 ∗ (𝑠𝑘−1) – условную оптимальную прибыль, полученную от k-го, (k+1)-го, …, 5-го предприятия, если между ними распределялись оптимальным образом средства 𝑠𝑘−1 (0 ≤ 𝑠𝑘−1 ≤ 33). Допустимые управления на k-м шаге удовлетворяют условию: 0 ≤ 𝑥𝑘 ≤ 𝑠𝑘−1 (либо k-му предприятию ничего не выделяем, 𝑥𝑘 = 0, либо не больше того, что имеем к k-му шагу, 𝑥𝑘 ≤ 𝑥𝑘 ≤ 𝑠𝑘−1). Уравнения Беллмана имеют вид:

Последовательно решаем записанные уравнения, проводя условную оптимизацию каждого шага. 5-й шаг. В таблице №2 прибыли монотонно возрастают, поэтому все средства, оставшиеся к 5-му шагу, следует вложить в 5-е предприятие. При этом для возможных значений 𝑠4 = 0, 3, … , 33 получим: 𝑍5 ∗ (𝑠4 ) = 𝑓5(𝑠4) и 𝑥5 ∗ (𝑠4 ) = 𝑠4 4-й шаг. Делаем все предположения относительно остатка средств 𝑠3 к 4- му шагу (то есть после выбора 𝑥1, 𝑥2 и 𝑥3). 𝑠3 может принимать значения 0, …33. В зависимости от этого выбираем 0 ≤ 𝑥4 ≤ 𝑠3, находим 𝑠4 = 𝑠3 − 𝑥4 и сравниваем для разных 𝑥4 при фиксированном 𝑠3 значения суммы 𝑓4 ( 𝑥4 ) + 𝑍5 ∗ (𝑠4 ). Для каждого 𝑠3 наибольшее из этих есть 𝑍4 ∗ (𝑠3 ) – условная оптимальная прибыль, полученная при оптимальном распределении средств 𝑠3 между 4-м и 5-м предприятиями. Оптимизация дана в таблице №3 при k=4. Для каждого значения 𝑠3 функции 𝑍4 ∗ (𝑠3 ) и 𝑋4 ∗ (𝑠3 ) помещены в графах 5 и 6 соответственно.

3-й шаг. Условная оптимизация, согласно уравнению (б) проведена в таблице №3 при k=3. Для всех возможных значений 𝑠2 значения 𝑍3 ∗ (𝑠12) и 𝑋3 ∗ (𝑠2 ) находятся в столбцах 8 и 9 соответственно, первые слагаемые в столбце 7 – значения 𝑓3 ( 𝑥3 ) взяты из таблицы №2, а вторые слагаемые взяты из столбца 5 таблицы №3 при 𝑠3 = 𝑠2 − 𝑥3 2-й шаг. Условная оптимизация, согласно уравнению (г) проведена в таблице №3 при k=2. Для всех возможных значений 𝑠1 значения 𝑍2 ∗ (𝑠1 ) и 𝑋2 ∗ (𝑠1 ) находятся в столбцах 11 и 12 соответственно, первые слагаемые в столбце 7 – значения 𝑓2 ( 𝑥2 ) взяты из таблицы №1, а вторые слагаемые взяты из столбца 8 таблицы №3 при 𝑠2 = 𝑠1 − 𝑥2 473 1-й шаг. Условная оптимизация (уравнение (д)) проведена в таблице №3 при k=1 для 𝑠0 = 33. Максимум суммарной прибыли равен 40,8 д.ед.., при этом первому предприятию выделено 3 д.ед.., а остальным 30 д.ед.. При распределении 30 д.ед.. между четырьмя предприятиями максимум прибыли 31,33 будет получено при выделении второму предприятию 9 д.ед.. При распределении 21 д.ед. между тремя предприятиями максимум прибыли 25,3 будет получено при выделении третьему предприятию 9 д.ед.. При распределении 12 д.ед. между 4—м и 5-м предприятиями максимум прибыли 15,91 будет получено при выделении 4-му предприятию 12 д.ед.. Получаем, что распределение следующее: 1-е предприятие 3 д.ед. 2-е предприятие 9 д.ед. 3-е предприятие 9 д.ед. 4-е предприятие 12 д.ед. 5-е предприятие 0 д.ед. Прибыль 40,8