По двум гладким медным шинам скользит невесомая перемычка, к которой приложена переменная сила F(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда

		Физика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16562
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

По двум гладким медным шинам скользит невесомая перемычка, к которой приложена переменная сила F(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Перемычка замыкает электрическую цепь, состоящую либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R, в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией В(t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ускорение перемычки в начальный момент времени конечно, а положение ее определено и равно Y(0) =Y0. Закон изменения магнитного поля для четных вариантов В𝑧 = −𝑐 ∙ 𝑒 −𝑚𝑡 , Закон изменения силы для всех вариантов FY = -f exp-nt; Константы f и c считать известными. Найти: 1) закон изменения тока I(t); 2) закон движения перемычки Y = Y(t); 3) максимальное значение Ymax; 4) законы изменения проекции силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон; 5) закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t); 6) установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке. 7) построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), Y(t)/Y(0). 

Рассчитаем магнитный поток через поверхность , натянутую на проводящий контур:  Так как  С учетом этого:  Площадь контура и индукция магнитного поля есть функции времени, поэтому магнитный поток будет функцией t:  Применим для определения ЭДС индукции закон Фарадея:  Подставим сюда выражение из (1.2) и продифференцируем:  Определим по правилу Ленца направление индукционного тока и учтем его в дальнейших рассуждениях, обозначив на чертеже. Для определения силы I используем основное уравнение динамики в проекции на ось Y:  Учитывая, что стержень невесомый получаем:  Найдем силу Ампера, действующую на перемычку:  Поэтому, учитывая, что  и интегрируя по длине перемычки, получим:  Из уравнений (1.6) и (1.7) получаем: ; тогда:  2) Составим эквивалентную схему и рассчитаем зависимость координаты Y от времени. Закон Ома для неоднородного участка цепи: ;   Учитывая, что перепишем (2.1) в виде: перепишем данное выражение с условием, что  Решим данное дифференциальное уравнение  Данное уравнение — линейное с постоянными коэффициентами, и правой частью специальной вида. Общее решение связанного однородного уравнения: ; Частное решение неоднородного уравнения запишем в виде:  ; Общее решение данного уравнения записываем в виде:  Произвольную постоянную k определим из начального условия  ; Окончательно: 3) Определим максимальное значение  . Логарифмируя, получим:  4) Найдем проекцию силы Лоренца, действующей на заряды в перемычке в проекции на ось Y. Движение электрона складывается из собственного движения в проводнике и движения вместе с перемычкой. Силу Лоренца в проекции на ось Y вызывает собственное движение электронов: Найдем скорость движения электронов в проводнике: , отсюда . Подставляя сюда , получим:  Подставляя в это выражение формулу из (1.8) получим: ; Подставим найденное соотношение (4.2) в исходную формулу (4) и учитывая, что 5) Найдем проекцию силы Лоренца, действующей на заряды в перемычке в проекции на ось X. Силу Лоренца в проекции на ось Y вызывает переносное движение электронов вместе с перемычкой. Данная сила компенсируется силами реакций медных шин.  Скорость переносного движения электронов равна скорости движения перемычки:  Подставляя полученное в формулу (5) и учитывая,  записываем:  6) Найдем напряженность электрического поля в перемычке: Имеем:  Из уравнения (2.1) получаем, отсчитывая потенциал от точки M:  Считаем, что сопротивление в перемычке однородно по длине и получаем: Подставляя в (7) и используя (2.2), получим:  8) Выполним проверку полученных результатов: Сила Ампера является результатом действия силы Лоренца на каждый носитель электрического заряда и является суммой этих сил.  . (8) Вычислим силу Ампера как сумму сил Лоренца, действующих на электроны в перемычке:  ; где N – кол-во электронов в перемычке.  Подставляя выражения (8.2) и (5.3) в (8.1) получим:  ; Сравнивая полученный результат, со значением силы, полученным в (1.6), убеждаемся, что они совпадают. Выполним проверку единиц измерения: 9) Построим графики зависимостей  Ответ :