Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении в физике с примерами

Перемещение, координата и путь при равнопеременном движении:

Мы знаем, что при равнопеременном движении скорость тела линейно зависит от времени. А как зависит от времени перемещение? Координата? Пройденный путь?

В предыдущем параграфе для равнопеременного движения была найдена зависимость проекции скорости от времени:

и получена формула для проекции перемещения:

Подставляя из равенства (1) в (2), находим зависимость проекции перемещения от времени:

Отметим, что при движении с постоянным ускорением соотношения (1) и (3) выполняются и для векторов скорости и перемещения:

Учитывая, что проекция перемещения из формулы (3) находим координату:

Формула (6) выражает кинематический закон равнопеременного движения. Функции (3) и (6) называются квадратичными. Следовательно, при равнопеременном движении проекция перемещения тела и его координата квадратично зависят от времени.

Сравним зависимости основных кинематических величин от времени для двух видов прямолинейного движения: равномерного и равнопеременного (табл. 1).

Таблица 1

Из таблицы видно, что при формулы равнопеременного движения переходят в формулы равномерного.

Рассмотрим графики проекций и координаты х на конкретном примере: три тела (0, 1 и 2) движутся вдоль оси Ох. Их начальные скорости одинаковы проекции ускорения различны:

По формуле (1) построим графики проекции скорости этих тел (графики 0, 1, 2 на рис. 79). Графики прямолинейны, а их наклон определяется значением проекции ускорения График 2 пересекает ось времени в момент поворота

Перейдем к графикам проекции перемещения (рис. 80).

Как мы знаем, при (т. е. для равномерного движения) и график — наклонная прямая линия (график  на рис. 80). 

Из таблицы 1 видно, что формулы для проекции перемещения при равномерном и равнопеременном движениях отличаются только на слагаемое  Поэтому при точки графика 0* для каждого значения t следует поднять на  (график 1*), а при (график 2*) — настолько же опустить (рис. 80).

Так как квадратично зависит от времени (см. формулу (3)), графики проекции перемещения при равнопеременном движении являются участками парабол (рис. 80).

Обратите внимание на поведение графиков 2 и 2* в момент поворота График 2 для  (рис. 79) в этот момент проходит через нуль, а график 2* для (рис. 80) при достигает максимума, а затем начинает опускаться. Графики подтверждают: в момент поворота направление движения тела изменяется на противоположное.

А каким будет график пути? Для движения, при котором направление скорости не изменяется, график пути 1б (рис. 81) совпадает с графиком проекции перемещения 1а. Если же скорость меняет свое направление, то график пути s (2б) и график проекции перемещения (2а) будут совпадать лишь до момента поворота

При проекция перемещения начинает уменьшаться, а путь s продолжает расти. Он увеличивается на столько, на сколько за то же время уменьшается проекция перемещения.

От графика проекции перемещения легко перейти к графику координаты х (рис. 82).

Так как, согласно формуле (6), то графики координаты х (параболы ) получаются путем смещения графика на величину Смещение вверх происходит при а вниз — при (рис. 82). Выведем еще две формулы, полезные для решения задач о равнопеременном движении.

Выразим время из формулы проекции скорости (1): Подставив это выражение в формулу (2), получим:
 Следовательно, при равнопеременном движении

В случае когда начальная скорость и ускорение одинаково направлены, из равенства (7) следует:

где s — пройденный путь.

• Заказать решение задач по физике

Главные выводы:

1. При равнопеременном движении тела его перемещение и координата — квадратичные функции времени.
2. Графики зависимости проекции перемещения и координаты от времени для равнопеременного движения являются участками парабол.
3. Вершина параболы на графике проекции перемещения соответствует моменту времени, при котором мгновенная скорость равна нулю.

Пример решения задачи:

Шарику, находящемуся в точке А, расположенной посередине наклонного желоба длиной (рис. 83), сообщили начальную скорость  вдоль наклонного желоба вверх. Ускорение шарика направлено вдоль желоба вниз. Найдите координату точки поворота и время за которое шарик ее достигнет, если

Определите время, когда шарик вернется в точку А, и время, когда он окажется в точке О. Постройте графики проекций скорости и перемещения, а также координаты шарика.

Пример решения задачи:

Решение

Выберем ось Ох, как показано на рисунке 83. Тогда проекция скорости  проекция перемещения  координата  где
По этим формулам для моментов времени найдем значения и занесем результаты в таблицу.

Используя полученные значения, строим графики проекций скорости (рис. 84, а) и перемещения (рис. 84, б, график 1) за промежуток времени от 0 до 5 с.

График координаты получим, сдвинув график проекции перемещения на вверх (график 2 на рис. 84, б). Из графиков и таблицы находим: координата точки поворота шарик достиг ее в момент в точке А шарик оказался при а в точке О — при

Ответ: