Анализируется выброс химическим предприятием в атмосферу вредных примесей. Концентрация вредных примесей может быть рассмотрена как случайная величина

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17342
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Задача 5 Анализируется выброс химическим предприятием в атмосферу вредных примесей. Концентрация вредных примесей может быть рассмотрена как случайная величина Х, распределенная по нормальному закону. Были произведены анализы концентрации вредных примесей на территории химического предприятия в течение 40 дней (табл. 1). 1.1 Провести группировку данных, разбив варианты на 7 интервалов. 1.2 Для сгруппированного ряда построить гистограмму частот. 2.1 Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. 2.2 Построить доверительный интервал для генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ. 3.1 При уровне значимости α проверить утверждение, что его средняя концентрация вредных примесей не превышает величину a=8%. 3.2 После установки новых очистных сооружений были проведены новые 10 замеров концентрации вредных примесей (табл. 2). При уровне значимости α проверить, является ли статистически обоснованным утверждение об уменьшении выброса в атмосферу вредных примесей. 4.1 Была исследована зависимость случайной величины Y (количество больничных листов в расчете на одного работающего) от величины Х (концентрация вредных примесей на территории предприятия). Были получены следующие результаты (табл. 3). По этим данным построить диаграмму рассеяния. 4.2 Построить линейное уравнение регрессии. 4.3 Построить показательное уравнение регрессии. 4.4 Проверить адекватность моделей по F-критерию. 4.5 По обеим моделям вычислить прогнозируемое значение y* при заданномзначении x* =4. 4.6 Вычислить выборочный линейный коэффициент корреляции. 4.7 При уровне значимости α проверить значимость коэффициента корреляции. Таблица 1 –Исходные данные

РЕШЕНИЕ 1.1 Проведем группировку исходных данных, т.е. разобьем варианты на отдельные интервалы. Найдем разность между наибольшим и наименьшим значениями признака  Тогда при разбивке на 7 интервалов длина интервала составит   Получим табл. 4. 2 Построим для сгруппированного ряда гистограмму частот. Рис. 12.1 Найдем выборочную среднюю Найдем выборочную дисперсию:Найдем исправленную выборочную дисперсию: Найдем исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х:  2.2 Построим доверительный интервал для генеральной средней с уровнем доверительной вероятности γ = 0,95. Так как значение генеральной дисперсии неизвестно, пользуемся формулой: Найдем значение  по таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне вероятности α = 0,05 и числе степеней свободы k = n –1 = 39. Получаем  Далее находим точность оценки  Доверительный интервал для генеральной средней имеет вид   . Подставляя значения, получаем, что с вероятностью 0,95 выполнено x ∈(6,14; 7,96) . Построим доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения с заданным уровнем доверительной вероятности γ = 0,95.  Найдем значение χ2 по таблице критических точек распределения χ2 при уровне вероятности и числе степеней свободы k = n –1 = 39. Получаем χ22= 24,4, следовательно, χ2= 4,94. Найдем значение χ22 при уровне вероятности  и числе степеней свободы k = n –1 = 39. Получаем χ22 = 58,1, следовательно, χ2= 7,622. Доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения имеет вид: 3.1 При уровне значимости α = 0,05 проверим утверждение, что среднее значение величины Х соответствует проектному значению a = 8. Так как выборка имеет большой объем (n = 40 > 30), то для проверки нулевой гипотезы Н0: x = а в качестве критерия проверки можно принять случайную величину U, определенную по формуле:  При этом в качестве генерального среднеквадратического отклонения σ можно принять выборочное значение s. Вычислим наблюдаемое значение критерия:  Конкурирующей является гипотеза Н1: x <а, поэтому критическую точку Uкр находим по таблице функции Лапласа из условия  Получаем Uкр=1,64Так как |Uнабл| >Uкр, то нулевую гипотезуотвергаем. Следовательно, утверждение, что среднее значение выходного параметра Х меньше 8, является статистически обоснованным. 3.2 Для первой выборки объема n1= 40 были получены значения Вх1= 7,05; s1= 2,846. Найдем выборочную среднюю и выборочное среднеквадратическое отклонение для второй выборки объема n2= 10 (табл. 2). Так как все варианты встречаются в выборке по одному разу, для нахождения выборочной средней пользуемся формулой Для нахождения выборочной дисперсии пользуемся формулой: Найдем исправленную выборочную дисперсию: Найдем исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины Х:  Проверяем теперь гипотезу о равенстве двух генеральных средних, т.е. гипотезу H0: x1= x2. Предполагаем, что дисперсии двух выборок равны. Поскольку мы проверяем утверждение, что среднее значение выходного параметра уменьшилось, то в качестве конкурирующей выбираем гипотезу H1: x1>x2Так как генеральные дисперсии неизвестны, а объем одной из выборок мал, используем критерий:  Критическую точку  левосторонней критической области находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n1+ n2–2 степенях свободы и вероятности 2α. Так как Tнабл >Tкр, то отвергаем нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы, т.е. утверждение об уменьшениисреднего значения показателя Х является статистически обоснованным. 4.1 Построим диаграмму рассеяния по данным табл. 3. 4.2 Построим линейное уравнение регрессии, т.е. модель вида уˆ= a0+ a1x . Согласно методу наименьших квадратов, параметры регрессии a0,a1находим из системы уравнений   табл. 5 внесем данные, необходимые для расчета коэффициентов линейного уравнения регрессии. Таблица 5  Следовательно, получаем линейное уравнение Решая это уравнение, получаем a0= –3,645, а1= 2,557. Таким образом, уравнение линейной регрессии имеет вид   4.3 Построим показательное уравнение регрессии, т.е. модель вида Прологарифмируем это уравнение: Проведем замену переменных  Таким образом, получаем линейное уравнение регрессии  Согласно методу наименьших квадратов, параметры регрессии a′0, a1′ находим из системы уравнений.В табл. 6внесем данные, необходимые для расчета коэффициентов полученного уравнения регрессии. Таблица6  Таким образом, получаем систему линейных уравнений Решая эту систему, получим a′0= 0.975, a1′ = 0,215. Далее находим коэффициенты исходного уравнения a0= e0.975= 2.651, a1= e0.215= 1.24. Таким образом, показательное уравнение регрессии имеет вид 4.4 Для обеих моделей проверим адекватность по F-критерию. Имеем линейное уравнение  и показательное уравнение  В табл. 7 внесем данные, необходимыепроверки адекватности моделей. Предварительно найдем среднее значение   Проверяем адекватность линейного уравнения регрессии на уровне значимости α = 0,05. Вычисляем остаточную дисперсию: Вычисляем дисперсию уравнения регрессии  Находим наблюдаемое значение критерия  Находим критическое значение критерия  по таблице критических точек распределения Фишера при k1 = 1, k2 = n –2 = 6степенях свободы и уровне значимости 0,05. Так как Fнабл > F(α, 1, n –2), то уравнение регрессии является значимым, т.е. статистически подтверждается наличие линейной связи между факторным и результативным признаком. Проверяем адекватность показательного уравнения регрессии на уровне значимости α = 0,05. Вычисляем остаточную дисперсию Вычисляем дисперсию уравнения регрессии  Находим наблюдаемое значение критерия  Находим критическое значение критерия F(α, 1, n –2) = 5,99. Так как Fнабл > F(α, 1, n –2), то уравнение показательной регрессии является значимым. Таким образом, как линейное, так и показательное уравнения регрессии адекватно описывают экспериментальные данные. Однако остаточная сумма квадратов линейного уравнения регрессии Sлин =19,73 существенно больше остаточной суммы квадратов показательного уравнения регрессии Sпоказ= 3,74. Следовательно, показательное уравнение регрессии является более предпочтительным. 4.5 Вычислим прогнозируемое значение y* при заданном значении x* = 4. Так как обе модели, как линейная, так и показательная, согласно F-критерию, оказались адекватными, то вычислим прогнозируемое значение по обеим моделям. По линейной модели  По показательной модели  4.6 Вычислим выборочный линейный коэффициент корреляции.Для вычисления среднеквадратическихотклонений вычислим сначала средние значения: Далее вычисляем выборочные среднеквадратические отклонения: Далее вычисляем коэффициент корреляционной связи, используя значение коэффициента a1 в уравнении линейной регрессии  Так как выборочный линейный коэффициент корреляции близок к 1, между переменными существует сильная прямая зависимость. 4.7 Проверим значимость коэффициента корреляции, т.е. проверяем статистическую обоснованность нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции H0: r= 0 при альтернативной гипотезе H1: r≠ 0. Вычисляем наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формуле  В таблице критических точек распределения Стьюдента для числа степеней свободы n –2 = 6и вероятности α = 0,05 находим значение  Так как Tнабл > T(α, n –2), то гипотеза H0 отвергается, т.е. коэффициент корреляции признается существенно отличающимся от нуля.