Были испытаны 25 ламп на продолжительность горения и получены следующие результаты (в часах)

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Были испытаны 25 ламп на продолжительность горения и получены следующие результаты (в часах): 773 792 815 827 843 861 869 877 886 889 892 895 901 903 905 911 918 919 923 929 937 941 955 981 990 Требуется: а) найти выборочную среднюю; б) составить интервальное распределение выборки с шагом ℎ, взяв за начало первого интервала 𝑥0; в) построить полигон и гистограмму частот; г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости 𝛼 гипотезу о том, что случайная величина 𝜇 – количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение; д) найти с надёжностью 𝛾 доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака 𝜇 генеральной совокупности. 𝛼 = 0,05; 𝛾 = 0,92; 𝜎 = 50; ℎ = 40; 𝑥0 = 760

Решение

а) Найдем выборочную среднюю.  б) Составим интервальное распределение выборки с шагом  взяв за начало первого интервала . Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Номер интервала Интервал Середина интервала Частота,  в) Построим полигон частот (черным) и гистограмму частот (синим). г) Выборочная дисперсия: Исправленная дисперсия: Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  Вероятность попадания случайной величины в каждый интервал равна приращению функции распределения:  Теоретические частоты определим по формуле и вычислим значения Результаты запишем в таблицу Интервал  Получили . Число степеней свободы . По таблице при уровне значимости  находим  Так как  , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости. д) Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен:  где  – значение, определяемое по таблице квантилей распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы  и доверительной вероятности . По таблице квантилей распределения Стьюдента находим:  и искомый доверительный интервал имеет вид