Для изучения некоторого нормально распределенного количественного признака 𝑋 генеральной совокупности получена выборка. По данным выборки

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Для изучения некоторого нормально распределенного количественного признака 𝑋 генеральной совокупности получена выборка. По данным выборки: 1) найти распределение частот и распределение относительных частот; 2) построить полигон частот и полигон относительных частот; 3) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду, выборочную медиану; 4) найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генеральной средней) изучаемой случайной величины 𝑋 с надежностью 0,95; 5) найти доверительный интервал для оценки вероятности того, что изучаемая случайная величина 𝑋 принимает значение меньшее, чем выборочная мода, с надежностью 0,97. 

Решение

1) Найдем распределение частот и распределение относительных частот. Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Составим точечный вариационный ряд – распределение частот (таблицу, устанавливающую зависимость между значениями 𝑥𝑖 указанной случайной величины и ее частотами 𝑛𝑖 ). Объем выборки равен: Относительные частоты 𝑓𝑖 определим по формуле: Составим распределение относительных частот. 2) Построим полигон частот и полигон относительных частот. 3) Найдем выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду, выборочную медиану. Выборочная средняя: Выборочная дисперсия: Выборочное среднее квадратическое отклонение Несмещенная (исправленная) оценка генеральной дисперсии Исправленное среднеквадратичное отклонение Определим моду 𝑀𝑜 (значение, соответствующее наибольшей частоте), и медиану 𝑀𝑒 (серединный элемент, арифметическое среднее между 20-м и 21- м элементами). 4) Найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания (генеральной средней) изучаемой случайной величины 𝑋 с надежностью 0,95. Доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной случайной величины равен: где t – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором По таблице функции Лапласа находим t из равенства: Получаем и искомый доверительный интервал имеет вид: 5) Найдем доверительный интервал для оценки вероятности того, что изучаемая случайная величина 𝑋 принимает значение меньшее, чем выборочная мода, с надежностью 0,97. Вероятность того, что изучаемая случайная величина 𝑋 принимает значение меньшее, чем выборочная мода, равна Предельная ошибка для доли: где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства: Получаем и тогда Тогда доверительный интервал для оценки вероятности того, что изучаемая случайная величина 𝑋 принимает значение меньшее, чем выборочная мода, с надежностью 0,97: