При автоматической штамповке деталей 60% продукции выпускается высшим сортом. Требуется: 1) Построить ряд

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16249
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

При автоматической штамповке деталей 60% продукции выпускается высшим сортом. Требуется: 1) Построить ряд и функцию распределения числа деталей высшего сорта среди 5 деталей, взятых наудачу; вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины. 2) Оценить вероятность того, что из 800 деталей, изготовленных за смену, не менее 500 будут детали высшего сорта.

Решение

1) Случайная величина 𝑋 − число деталей высшего сорта среди 5 деталей, взятых наудачу, может принимать значения  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле  где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая  Ряд распределения имеет вид:  Функция распределения выглядит следующим образом Для биномиального распределения  справедливы формулы: Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно:  Дисперсия 𝐷(𝑋) равна:  По условию2 2) Оценим вероятность того, что из 800 деталей, изготовленных за смену, не менее 500 будут детали высшего сорта. Применим интегральную теорему Лапласа. Если вероятность 𝑝 наступления события 𝐴 в каждом из 𝑛 независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в 𝑛 независимых испытаниях событие 𝐴 наступит не менее чем 𝑚1 раз и не более чем 𝑚2 раза, определяется по формуле:  Тогда вероятность искомого события 𝐴 − из 800 деталей, изготовленных за смену, не менее 500 будут детали высшего сорта, равна: