Рассмотрите случайную выборку Xi из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы: а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения

		Экономическая теория
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17598
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Рассмотрите случайную выборку Xi из некоторого известного распределения и ответьте на следующие вопросы: а) найдите оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(–1;A) б) найдите оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B) в) найдите оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C); г) найдите (и сравните) оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения; д) найдите оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1) е) найдите оценки параметров M и S любым известным методом, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(M, S); ж) постройте гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов — K; з) в каждом из пунктов (а) — (е) оцените близость данного теоретического распределения к эмпирическому на основе критерия Пирсона; какое из распределений (а) — (е) лучше описывает выборку? Числовые данные 0,457 0,197 - 0,242 0,142 0,303 0,114 - 0,909 - 0,884 - 0,170 0,173 K=3

РЕШЕНИЕ а) найдем оценку параметра A методом моментов, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения  Для равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины математическое ожидание может быть вычислено по формуле Точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое  В нашем случае имеем  б) найдем оценку методом моментов параметра B, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(-B;B). Для равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины дисперсия может быть вычислена по формуле  . Точеной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия  В нашем случае имеем в) найдем оценки методом максимального правдоподобия параметров c и C, если известно, что выборка сделана из равномерного распределения U(c; C);Запишем функцию плотности вероятностей  Составим функцию правдоподобия:  если . разность (С-с) принимает свое наименьшее значение при А значит, функция L принимает свое наибольшее значение при тех же значениях (c, C), то есть искомые оценки  г) найдем оценки параметра L методом моментов и методом максимального правдоподобия, если известно, что выборка сделана из экспоненциального EL распределения; Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина X имеет экспоненциальное распределение с плотностью  Применяя метод максимального правдоподобия, найдем точечную оценку для параметра L . Составим функцию правдоподобия, учитывая, что Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:   Найдем первую производную поНайдем критическую точку, для чего решим полученное уравнение относительно Найдем вторую производную по Легко видеть, что при вторая производная отрицательна; следовательно, точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра  показательного распределения примем  Применяя метод моментов, найдем точечную оценку для параметра L. Найдем математическое ожидание случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение: Так как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое , то получаем . д) найдем оценку параметра m методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения N(m, 1). Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами m и 1. Тогда плотность вероятности имеет вид  . Найдем математическое ожидание случайной величиныТак как точеной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое  то получаем  е) найдем оценки параметров M и S методом моментов, если известно, что выборка сделана из нормального распределения Пусть непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами M и S . Тогда плотность вероятности имеет вид Найдем математическое ожидание случайной  ж) построим гистограмму и полигон по выборке, количество интервалов — 3 Ширина интервала Интервальное распределение Ширина интервала от Построим полигон - точки  Построим гистограмму – прямоугольники высотой ni/h: з) Оценим близость распределения к теоретическому В пункте а) была найдена оценка параметра A  0,8242  . Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке Найдем теоретические частоты: Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона Найдем по таблице критических точек распределения 2  по уровню значимости   0,05 и числу степеней свободы    критическую точку правосторонней критической области  Так как наблюдаемое значение критерия больше критического значения критерия  то делаем вывод о том, что наблюдения не согласуются с равномерным распределением на рассматриваемом отрезке на уровне значимости  В пункте б) была найдена оценка параметра B  0,774  . Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения на отрезке Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона