В случаях а, б и в рассматривается серия из 𝑛 независимых испытаний с двумя исходами в каждом - "успех" или "неуспех". Вероятность "успеха" равна

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16457
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В случаях а, б и в рассматривается серия из 𝑛 независимых испытаний с двумя исходами в каждом - "успех" или "неуспех". Вероятность "успеха" равна 𝑝, "неуспеха" 𝑞 = 1 − 𝑝 в каждом испытании. 𝑋 – число "успехов" в 𝑛 испытаниях. Требуется: 1) для случая а (малого 𝑛) построить ряд распределения, функцию распределения 𝑋, найти 𝑀𝑋, 𝐷𝑋 и 𝑃(𝑋 ≤ 2); 2) для случая б (большого 𝑛 и малого 𝑝) найти 𝑃(𝑋 ≤ 2) приближенно с помощью распределения Пуассона. Оценить точность приближения; 3) для случая в (большого 𝑛) найти вероятность 𝑃(𝑘1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑘2 ) приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

Решение

1) Построим ряд распределения, функцию распределения 𝑋, найдем 𝑀𝑋, 𝐷𝑋 и 𝑃(𝑋 ≤ 2). Случайная величина 𝑋 – "успехов" в 5 испытаниях, может принимать значения: Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна  то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где  — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая Ряд распределения имеет вид: Функция распределения выглядит следующим образом: Построим график функции распределения 𝐹(𝑥). Для биномиального распределения справедливы формулы: Математическое ожидание 𝑀𝑋 равно:  Дисперсия 𝐷𝑋 равна: По условию  Тогда  Определим по ряду распределения вероятность того, что случайная величина 𝑋 примет заданное значение:  2) Найдем  приближенно с помощью распределения Пуассона. Оценим точность приближения. Если производится достаточно большое число испытаний (𝑛 – велико), в каждом из которых вероятность наступления события 𝐴 постоянна, но мала, то вероятность того, что в 𝑛 испытаниях событие 𝐴 наступит 𝑚 раз, определяется приближенно формулой: В данном случае  Наиболее известная оценка для расстояния по вариации между биномиальным распределением и сопровождающим пуассоновским законом имеет вид: При и получим:  3) Найдем вероятность  приближенно с помощью теоремы Муавра-Лапласа.  где  – функция Лапласа,  В данном случае