Перпендикулярность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Перпендикулярность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с понятиями угла между прямыми в пространстве, угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями; узнаете, что такое ортогональная проекция, изучите свой­ство ортогональной проекции многоугольника.

Угол между прямыми в пространстве

Поскольку две любые пересекающиеся прямые пространства лежат в одной плоскости, то угол между ними определим так же, как в планиметрии. Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину того из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превышает (рис. 33.1).

Угол между двумя параллельными прямыми считают равным Следовательно, если — угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, то .

Введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Определение. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся пря­мым.

Пусть прямые скрещивающиеся. Через точку М простран­ства проведем прямые так, что (рис. 33.2). По определению угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми .

Возникает естественный вопрос: зависит ли угол между данными скрещивающимися прямыми от выбора точки М ? Ответить на этот вопрос помогает следующая теорема.

Теорема 33.1. Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между двумя другими пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Воспользовавшись теоремой 33.1, можно показать, что угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми , где

Например, на рисунке 33.3 изображена треугольная призма . Угол между скрещивающимися прямыми и ВС равен углу между пересекающимися прямыми и ВС.

Определение. Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Заметим, что перпендикулярные прямые могут как пересекаться, так и быть скрещивающимися.

Если прямые перпендикулярны, то записывают: Два отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

Например, ребра AD и куба перпендикулярны (рис. 33.4). Действительно, поскольку то угол между прямыми AD и равен углу между прямыми AD и . Но , поэтому .

Пример:

На рисунке 33.5 изображен куб . Най­дите угол между прямыми и .

Решение:

Соединим точки . Поскольку , то точки лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым . Следовательно, угол между прямыми равен углу . Соединим точки В и D. Отрезки равны как диагонали равных квадратов. Следовательно, треугольник равносторонний. Тогда . Ответ : 60°.

Перпендикулярность прямой и плоскости

В повседневной жизни мы говорим: флагшток перпендикулярен поверхности земли (рис. 34.1), мачты парусника перпендикулярны поверхности палубы (рис. 34.2), шуруп вкручивают в доску перпендикулярно ее поверхности (рис. 34.3) и т.п.

Эти примеры дают представление о прямой, перпендикулярной плоскости. Определение. Прямую называют перпендикулярной пло­скости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 34.4).

Если прямая перпендикулярна плоскости то записывают: Также принято говорить, что плоскость перпендикулярна прямой или прямая и плоскость перпендикулярны.

Из определения следует, что если прямая перпендикулярна плоскости то она пересекает эту плоскость.

Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он принадлежит прямой, перпендикулярной этой плоскости.

Например, интуитивно понятно, что ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно плоскости АВС (рис. 34.5). Доказать этот факт нетрудно, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема 34.1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

На рисунке 34.5 прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и AD плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпен­дикулярности прямой и плоскости а значит, и ребро также перпендикулярно плоскости АВС.

Теорему 34.1 часто используют на практике. Например, подставка для новогодней елки имеет форму крестовины. Если елку установить так, чтобы ее ствол был перпендикулярен направлениям крестовины, то елка будет стоять перпендикулярно плоскости пола (рис. 34.6).

Приведем теорему, которую можно рассматривать как еще один признак перпендикуляр­ности прямой и плоскости.

Теорем а 34.2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости (рис. 34.7).

Например, на рисунке 34.5 прямая перпендикулярна плоскости АВС, а прямая параллельна прямой . Следовательно, по теореме 34.2 прямая также перпендикулярна плоскости АВС. Сформулируем теорему, являющуюся признаком параллельности двух прямых.

Теорем а 34.3. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны (рис. 34.8). Справедлива и такая теорема.

Теорема 34.4. Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Пример:

Плоскость перпендикулярная катету АС прямоугольного треугольника АВС, пересекает катет АС в точке Е, а ги­потенузу АВ — в точке F (рис. 34.9). Найдите отрезок EF, если АЕ : ЕС = 3 : 4, ВС = 21 см.

Решение:

Поскольку прямая АС перпендикулярна плоскости то прямая АС перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности прямой EF. Прямые EF и ВС лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой АС, поэтому . Из этого следует, что треугольники AEF и подобны. Следовательно, можно записать: EF : СВ=АЕ : АС. Отсюда EF : 21 = 3 : 7, EF = 9 см. Ответ: 9 см.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть фигура — параллельная проекция фигуры F на плоскость в направлении прямой Если , то фигуру называют ортогональной проекцией фигуры F на плоскость

Например, основание ABCD прямоугольного параллелепипеда является ортогональной проекцией основания на пло­скость АВС в направлении прямой (рис. 35.1).

В дальнейшем, говоря о проекции фигуры, если не оговорено противное, будем иметь в виду ортогональную проекцию.

Пусть даны плоскость и не принадлежащая ей точка А . Через точку А проведем прямую перпендикулярную плоскости Пусть (рис. 35.2).

Отрезок АВ называют перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость точку В — основанием перпендикуляра. Основание В перпендикуляра АВ — это проекция точки А на плоскость .

Отметим на плоскости какую-нибудь точку С, отличную от точки В. Проведем отрезок АС (рис. 35.2). Отрезок АС называют наклонной, проведенной из точки А к плоскости точку С — основанием наклонной. Отрезок ВС является проекцией наклонной АС.

Теорема 35.1. Если из одной тонки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпендикуляра.

Пример:

Докажите, что если точка, не принадлежащая плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то проекцией этой точки на плоскость многоугольника является центр его описанной окружности.

Решение:

Проведем доказательство для треугольника. Для других многоугольников доказательство будет аналогичным. Пусть точка М не принадлежит плоскости АВС, причем МА = = МВ = МС. Опустим из точки М перпендикуляр МО на плоскость АВС (рис. 35.3). Докажем, что точка О — центр описанной окружности треугольника АВС. Поскольку , то . В пря­моугольных треугольниках МОА, МОВ, МОС катет МО — общий, гипотенузы равны, следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства данных треугольников следует, что ОА = ОВ = ОС, то есть точка О — центр описанной окружности треугольника АВС.

Заметим, что когда надо определить расстояние между двумя геометрическими фигурами, то стремятся найти расстояние между их ближайшими точками. Например, из курса планиметрии вы знаете, что расстоянием от точки, не принадлежащей прямой, до этой прямой называют расстояние от данной точки до ближайшей точки на прямой, то есть длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Теорема 35.1 показывает, что целесообразно принять следующее определение.

Определение. Если точка не принадлежит плоскости, то рас­стоянием от точки до плоскости называют длину перпен­дикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то считают, что расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от плоскости.

Решение:

Пусть А и В — две произвольные точки прямой параллельной плоскости Точки — основания перпендикуляров, опущенных соответственно из точек А и В на плоскость (рис. 35.4). Докажем, что .

По теореме 34.3 . Следовательно, точки лежат в одной пло­скости. Плоскость проходит через прямую параллельную плоскости и пересекает плоскость по прямой . Тогда по теореме 30.2 получаем: . Таким образом, в четырехугольнике каждые две противолежащие стороны параллельны. Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда Так как точки А и В выбраны на прямой произвольно, то утверждение задачи доказано.

Доказанное свойство позволяет принять следующее определение. Определение. Расстоянием от прямой до параллель­ной ей плоскости называют расстояние от любой точки этой прямой до плоскости. Используя результат, полученный в ключевой задаче 2, можно решить следующую задачу.

Пример:

Докажите, что если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Определение. Расстоянием между двумя параллель­ными плоскостями называют расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Результаты, полученные в ключевых задачах 2 и 3, часто ис­пользуют в практической деятельности, например в строительстве (рис. 35.5).

Теорема 35.2 (теорема о трех перпендикулярах). Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот, если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы.Пусть прямая принадлежащая плоскости перпендикулярна проекции ВС наклонной АС (рис. 35.6). Докажем, что . Имеем: следовательно, . Получили, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и ВС плоскости АВС; следовательно,. Поскольку то Доказательство второй части теоремы аналогично доказатель­ству первой части.

Пример:

Точка М не принадлежит плоскости выпуклого многоугольника и равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки М на плоскость многоугольника является точка О, принадлежащая многоугольнику. Докажите, что точка О — центр вписанной окружности многоугольника.

Решение:

Проведем доказательство для треугольника. Для других многоугольников доказательство будет аналогичным. Опустим из точки О перпендикуляры ON, ОК и ОЕ соответственно на прямые АВ, ВС и СА (рис. 35.7). Соединим точку М с точками Е, К и N.

Отрезок ON является проекцией на­клонной MN на плоскость АВС. По построению . Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем:

Аналогично можно доказать, что . Следовательно, длины отрезков MN, МК и ME — расстояния от точки М до прямых АВ, ВС и СА соответственно. По условию MN = МК = МЕ.

В прямоугольных треугольниках MON, МОК, МОЕ катет МО общий, гипотенузы равны; следовательно, данные треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства этих треугольников следует, что ON = ОК = ОЕ.

Длины отрезков ON, ОК и ОЕ являются расстояниями от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника АВС. Мы показали, что эти расстояния равны. Так как точка О принадлежит треугольнику АВС, то точка О — центр вписанной окружности треугольника АВС.

Угол между прямой и плоскостью

Вы знаете, что в давние времена путешественники ориентировались по звездам. Они измеряли угол, который образовывал с плоскостью горизонта луч, идущий от данной точки к небесному телу.

Сегодня человеку в своей деятельности также важно определять углы, под которыми наклонены к данной плоскости некоторые объекты (рис. 36.1). Эти примеры показывают, что целесообразно ввести понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, то считают, что угол меж ду такой прямой и плоскостью равен 0°.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен .

Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между такой прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 36.2).

Из определения следует, что если — угол между прямой и плоскостью, то .

Также принято говорить, что прямая образует угол с плоскостью.

Углом между отрезком и плоскостью называют угол между прямой, содержащей этот отрезок, и плоскостью.

Например, рассмотрим куб (рис. 36.3). Угол между диагональю грани и плоскостью АВС равен 45°. Действительно, прямая АВ — проекция прямой на плоскость АВС. Тогда угол между прямой и плоскостью АВС равен величине угла . Поскольку четырехугольник — квадрат, то .

Пример:

Докажите, что если из одной точки к плоскости проведены наклонные, образующие равные углы с плоскостью, то проекция данной точки на плоскость равноудалена от оснований наклонных.

Решение:

Пусть МЛ и М В — наклонные, образующие с плоскостью равные углы, отрезки ОА и ОВ — проекции этих наклонных (рис. 36.4). Докажем, что ОА = ОВ.

Прямая ОА является проекцией прямой МА на плоскость Так как угол МАО острый, то он равен углу между прямыми ОА и МА. Следовательно, величина угла МАО равна углу между наклонной МА и плоскостью . Аналогично можно доказать, что величина угла МВО равна углу между наклонной МВ и плоскостью По условию .

Поскольку то . Получаем, что прямоугольные треугольники МОА и МОВ равны по катету и противолежащему острому углу. Отсюда .

• Заказать решение задач по высшей математике

Двугранный угол. Угол между плоскостями

На рисунке 37.1 изображена фигура, состоящая из двух полуплоскостей, имеющих общую границу. Эта фигура делит пространство на две части, выделенные на рисунке 37.2 разными цветами. Каждую из этих частей вместе с полуплоскостями называют двугран­ным углом. Полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую границу — ребром двугранного угла. Как видим, «желтый» и «синий» двугранные углы, изображенные на рисунке 37.2, существенно различаются. Это различие выражается следующим свойством. На гранях двугранного угла выберем произвольные точки М и N (рис. 37.3).

Отрезок MN принадлежит «желтому» двугранному углу, а «сине­му» двугранному углу принадлежат лишь концы отрезка. В дальнейшем, говоря «двугранный угол», будем подразумевать такой двугранный угол, который содержит любой отрезок с концами на его гранях («желтый» двугранный угол).

Наглядное представление о двугранном угле дают полуоткрытая классная доска, двускатная крыша, открытый ноутбук (рис. 37.4).

Двугранный угол считают пространственным аналогом угла на плоскости. Вы знаете, как определяют величину угла на плоскости. Научимся определять величину двугранного угла.

Отметим на ребре MN двугранного угла произ­вольную точку О. Через точку О в гранях двугран­ного угла проведем лучи ОА и ОВ перпендикулярно ребру MN (рис. 37.5). Угол АОВ, образованный этими лучами, называют линейным углом двугран­ного угла. Поскольку и , то . Таким образом, если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость перпендикулярно ребру, то эта плоскость пересечет двугранный угол по его линейному углу.

Определение. Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла.

Двугранный угол называют острым, прямым, тупым или развернутым, если его линейный угол соответственно острый, прямой, тупой или развернутый.

Например, рассмотрим куб (рис. 37.6). Двугранный угол с ребром , грани которого принадлежат плоскостям и является прямым. Действительно, поскольку и , то угол ADC — линейный угол двугранного угла с ребром .

Угол ADC прямой.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла, отличных от развернутого (рис. 37.7). Здесь возможны два случая:

1. все четыре двугранных угла прямые (рис. 37.7, а);
2. из четырех двугранных углов два равных угла острые и два равных угла тупые (рис. 37.7, б).

В обоих случаях из четырех двугранных углов найдется такой, величина которого не превышает 90°.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину того из образовавшихся дву­гранных углов, который не превышает 90°. Угол между двумя параллельными плоскостям и равен 0°.

Углом между многоугольником и плоскостью, которой много угольник не принадлежит, называют угол между плоскостью, содержащей многоугольник, и данной плоскостью.

Углом между двумя многоугольниками, лежащими в разных плоскостях, называют угол между плоскостями, в которых лежат эти многоугольники.

Пример:

Прямоугольные треугольники и АВМ имеют общий катет АВ (рис. 37.8). Отрезок МВ перпендикулярен плоскости АВС. Известно, что МВ = 4 см, АС = 6 см, МС = 10 см. Найдите угол между плоскостями АВС и АМС.

Решение:

Отрезок ВА является проекцией наклонной МА на плоскость АВС. Так как , то по теореме о трех перпендикулярах . Следователь но, угол МАВ — линейный угол двугранного угла с ребром АС, грани которого принадлежат плоскостям АВС и АМС. Поскольку угол МАВ острый, то угол между плоскостями АВС и АМС равен величине угла МАВ.

Для стороны AM прямоугольного треугольника АМС можно записать: . Отсюда . Для угла МАВ прямоугольного треугольника МАВ запишем: . Отсюда и . Ответ: 30°.

Имеет место теорема, устанавливающая связь между площадью данного многоугольника и площадью его проекции.

Теорема 37.1 (площадь ортогональной проекции мно­гоугольника). Площадь проекции выпуклого многоугольника равна произведению его площади и косинуса угла а между многоугольником и его проекцией, где .

Определение. Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Если плоскости перпендикулярны, то записывают: . Также принято говорить, что плоскость перпендикулярна плоскости или плоскость перпендикулярна плоскости .

Наглядное представление о перпендикулярных плоскостях дают плоскости стены и потолка комнаты, плоскости двери и пола, плоскости сетки и теннисного корта (рис. 37.9).

Очевидно, что перпендикулярные плоскости при пересечении образуют четыре прямых двугранных угла (рис. 37.10).

Теорема 37.2 (признак перпендикулярности плоско­стей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Например, плоскость грани прямоугольного параллелепипеда , (рис. 37.11) перпендикулярна плоскости грани ABCD. Действительно, плоскость проходит через прямую , перпендикулярную плоскости АВС.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 5

Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми называют ве­личину того из углов, образовавшихся при их пересечении, который не превышает 90°. Считают, что угол между двумя параллельными прямыми равен 0°. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым. Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность прямой и плоскости

• Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.
• Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
• Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.

Ортогональная проекция фигуры

Пусть фигура — параллельная проекция фигуры F на плоскость в направлении прямой . Если , то фигуру называют ортогональной проекцией фигуры F на плоскость

Расстояние от точки до плоскости

Если точка не принадлежит плоскости, то расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если точка принадлежит плоскости, то считают, что расстояние от точки до плоскости равно нулю.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называют расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями назы­вают расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот, если прямая, принадлежащая плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.

Угол между прямой и плоскостью

• Если прямая параллельна плоскости или принадлежит ей, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен 0°.
• Если прямая перпендикулярна плоскости, то считают, что угол между такой прямой и плоскостью равен 90°.
• Если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то углом между такой прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Величина двугранного угла

Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называют величину того из образовавшихся двугранных углов, который не превышает 90°.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь проекции выпуклого многоугольника равна произведению его площади и косинуса угла а между многоугольником и его проекцией, где

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.