Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Доверительный интервал для вероятности события:

Пусть вероятность Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

 Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

По заданному уровню надежности Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) можно найти такое Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Правая часть равенства (3.2.1) будет равна Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения, если 

Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

откуда Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения При подстановке такого Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения в (3.2.1) получается равенство Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

К сожалению, в формуле (3.2.2) доверительные границы для вероятности Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения выражаются через саму эту неизвестную вероятность. Это затруднение можно обойти, заметив, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Тогда формулу (3.2.2) можно записать в виде Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Оценка Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения величиной 1/4 приемлема, если есть уверенность, что неизвестная вероятность Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения близка к 1/2. Но при значениях p близких к 0 или 1 такая оценка слишком груба. Например, при Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения получаем всего лишь Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения вместо 0,25. Можно точный доверительный интервал заменить приближенным, если учесть, что при большом числе опытов Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Тогда из (3.2.2) следует, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Для обследования большой партии изделий (несколько тысяч штук) наугад выбрано 160 изделий. Среди них оказалось 56 изделий низкого сорта. Оценить долю изделий низкого сорта в этой партии с надежностью 0,95.

Решение. Так как партия изделий крупная, то для упрощения можно считать, что по мере выбора изделий состав партии заметно не изменяется и вероятность выбрать наугад изделие низкого сорта равна доле низкосортных изделий в этой партии. Тогда задача сводится к построению доверительного интервала для вероятности выбрать из этой партии изделие низкого сорта. Частота изделий низкого сорта в выборке равна Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) следует, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения ПоэтомуДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения
или Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения  Итак, по данной выборке можно с вероятностью 0,95 утверждать, что во всей партии содержится от 27% до 42% изделий низкого сорта.

Ответ. От 27% до 42%.

Пример:

Было проведено 400 испытаний механизма катапультирования. В этих испытания не зарегистрировано ни одного отказа. С надежностью 0,95 оценить вероятность отказа механизма катапультирования.

Решение. В данной серии испытаний частота появления отказа Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Поэтому непосредственно использовать формулу (3.2.4) нельзя. Заметим, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения так как Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Функция Лапласа Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения строго возрастает. Поэтому меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. В расчете на худший вариант можно воспользоваться формулой (3.2.3). По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения и Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Еще раз подчеркнем, что доверительный интервал (3.2.3) построен в расчете на худший вариант, когда вероятность события близка к Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Но большое число опытов Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения и нулевая частота события в них позволяют с уверенностью утверждать, что вероятность события близка к нулю. Если несколько ухудшить статистику испытаний и посчитать что один отказ все-таки наблюдался, то Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Тогда по формуле (3.2.4) получаем приближенный доверительный интервал

 Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

или Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Это приближенный доверительный интервал, но он определенно более точен, чем грубая оценка по формуле (3.2.3).

Ответ. Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

При штамповке 70% деталей выходит первым сортом, 20% – вторым и 10% – третьим. Определить, сколько нужно взять деталей, чтобы с вероятностью равной 0,997 можно было утверждать, что доля первосортных среди них будет отличаться от вероятности изготовления первосортной детали не более чем на 0,05 в ту или другую сторону? Ответить на тот же вопрос, если процент первосортных деталей неизвестен.

Решение. Изготовление каждой детали можно считать независимым испытанием с вероятностью «успеха» Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Нужно выбрать такое число испытаний Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения чтобы по формуле (3.2.1): Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Тогда Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения откуда Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения Если процент первосортных деталей неизвестен, то Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая, что Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения и замену Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения на 1/4 придется компенсировать некоторым увеличением Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения получим Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения или Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. 741; 882.

Доверительные вероятности, доверительные интервалы

В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим доверительные вероятности и доверительные интервалы.

При статистической обработке результатов наблюдений необходимо знать не только точечную оценку Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения параметра Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения, но и уметь оценить точность этой оценки. Для этого введём понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом для параметра Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения называется интервал содержащий значение Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения с заданной вероятностью Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения.

Число Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения называется доверительной вероятностью.

ПустьДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения -заданное число (оно обычно равно 0,8, 0,9,
0,95,...).

Так какДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения ТО
интервал Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решениясодержит (накрывает) значение Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения (рис. 1).

Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения
Интервал Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения- это доверительный интервал для параметра Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения.

Покажем, как найти доверительный интервал для математического ожидания Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения с заданной доверительной вероятностьюДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения   точечная оценка математического ожидания.

Используя центральную предельную теорему, можно считать, что случайная величинаДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения для больших п распределена по нормальному закону, а значит вероятности можно считать, используя функцию Лапласа Ф(х).

Тогда
Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения
ОтсюдаДоверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Здесь Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения находится по таблице Лапласа в обратном порядке: по
значению Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения функции Ф(х) находится аргумент Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидании имеет вид
Доверительный интервал для вероятности события - определение и вычисление с примерами решения
 

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели доверительные вероятности и доверительные интервалы.