Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Проверка статистических гипотез:

Статистической гипотезой называется гипотеза, которая относится к виду функции распределения, к параметрам функции распределения, к числовым характеристикам случайной величины и т.д., и которую можно проверить на основе опытных данных. Например, предположение о том, что отклонение истинного размера детали от расчетного имеет нормальный закон распределения, является статистической гипотезой. Предположение о наличии жизни на Марсе статистической гипотезой не является, так как оно не выражает какого-либо утверждения о законе распределения или иных характеристиках случайной величины.

Пример статистической гипотезы

Рассмотрим упрощенный пример. Пусть выдвинута гипотеза о том, что плотность вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Есть возможность произвести только одно наблюдение. В этом случае выборочным пространством служит числовая ось. Из рис. 3.6.1 видно, что значения случайной величины из отрезка Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеют относительно большую плотность вероятности и попадание наблюдаемого значения в этот отрезок не противоречит гипотезе. Напротив, значения вне этого отрезка в соответствии с гипотезой маловероятны, и реализация одного из этих значений говорит не в пользу гипотезы. В этом упрощенном примере важно следующее: выборочное пространство Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения мы разбили на две части. Одну из них, точки вне отрезка Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, обозначим через Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и назовем критической областью. Если наблюдение попадает в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, то гипотезу отвергаем, а если не попадет, то будем считать гипотезу не противоречащей опытным данным или правдоподобной.

В случае выборки объема Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по тому же принципу разбивают выборочное пространство на две части. Одну их них, выборки самые маловероятные при данной гипотезе, обозначают через Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и называют критической областью. В случае попадания выборки в критическую область гипотезу отвергают. В противном случае признают гипотезу не противоречащей опытным данным. Если говорить о проверке гипотез с точки зрения статистических решающих функций, то, приписав каждой выборке определенное решение, принять или отвергнуть гипотезу, мы тем самым разбиваем выборочное пространство на две части: область принятия гипотезы и критическую область.

Статистическим критерием называют правило, указывающее, когда статистическую гипотезу следует принять, а когда отвергнуть. Построение статистического критерия сводится к выбору в выборочном пространстве критической области Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Обычно в критическую область включают самые маловероятные при данной гипотезе выборки.

Даже при верной гипотезе наблюдения могут сложиться неблагоприятно, в итоге выборка может попасть в критическую область и гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого исхода Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения мала, так как к критической области отнесены самые маловероятные при данной гипотезе выборки. Вероятность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно рассматривать как вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается. Эту вероятность называют уровнем значимости критерия. Критерии для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины обычно называют критериями согласия.

Статистический критерий в описанном виде может быть сложным, и трудно будет установить, принадлежит ли выборка критической области или нет. Поэтому предпочитают на выборочном пространстве задать некоторую функцию, которая каждой выборке ставит в соответствие определенное число. Значения функции, которые соответствуют критической области, естественно считать критическими значениями. Проверка гипотезы тогда сводится к вычислению по выборке значения этой функции и проверке, является ли оно критическим. Есть функции, не зависящие от вида проверяемой гипотезы. Одна из таких функций дает знаменитый критерий «хи-квадрат».

Критерий согласия «хи-квадрат»

Пусть выдвинута гипотеза о законе распределения случайной величины X. Требуется проверить, насколько эта гипотеза правдоподобна. Для этого разобьем множество возможных значений случайной величины на Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения разрядов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для непрерывной случайной величины роль разрядов играют интервалы значений, для дискретной – отдельные возможные значения или группы таких значений. В соответствии с выдвинутой гипотезой каждому разряду соответствует определенная вероятностьПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Например, если выдвинута гипотеза, что случайная величина X имеет функцию распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения а в качестве Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения выбраны интервалы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения тоПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Нужно проверить, согласуется ли наша гипотеза с опытными данными.

Идея проверки гипотезы состоит в сравнении теоретических вероятностей разрядов (3.6.1) с фактически наблюдаемыми частотами попадания в эти разряды. Для этого производится Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения независимых наблюдений случайной величины и определяется число попаданий в каждый из разрядов. Пусть в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияй разряд попало Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наблюдений. Если гипотеза верна и каждому разряду действительно соответствует вероятность (3.6.1), то при большом числе наблюдений в силу закона больших чисел частоты Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения будут приблизительно равны теоретическим вероятностям Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Тогда величинаПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – некоторые коэффициенты, должна быть малой.

Если же гипотеза ложная, то при больших Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения частоты разрядов будут близки к вероятностям, отличным от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и величина (3.6.2) будет относительно большой. Значит, по величине (3.6.2) можно судить о том, насколько гипотеза согласуется с опытными данными. Критическую область составят те выборки, для которых эта величина велика.

Английский статистик К. Пирсон (1900 г.) показал, что при выборе коэффициентов  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения случайная величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

имеет распределение, которое не зависит от выдвинутой гипотезы и определяется функцией плотности вероятностиПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – число, называемое числом степеней свободы. Число Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равно разности между числом разрядов и числом связей, наложенных на величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Связью называется всякое соотношение, в которое входят величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения.

При данной гипотезе и фиксированном числе наблюдений величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения зависит от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Каждому Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения соответствует свое слагаемое, но не все Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения могут изменяться свободно, так как они связаны соотношением Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Значит, величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вместе с величинами Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения однозначно определяют величину Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения которая поэтому свободно меняться не может. Число степеней свободы соответствует числу свободно меняющихся величин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения . На Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения могут быть наложены и другие связи. Если всего связей Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то независимо меняющихся величин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения будет Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Связь Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения налагается всегда. Другие связи могут возникнуть, например, если при выдвижении гипотезы с помощью величин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения оцениваются параметры предполагаемого закона распределения. Чем больше Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, тем сильнее график Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вытянут вдоль горизонтальной оси (рис. 3.6.2).

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Составлены специальные таблицы (см. прил., табл. П4), в которых для любого Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и заданной вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения указаны такие значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения чтоПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

На рис. 3.6.2 заштрихованная площадь равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Вероятность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно понимать, как вероятность того, что в силу чисто случайных причин, за счет наблюдения тех, а не других значений случайной величины, мера расхождения между гипотезой и результатами наблюдений будет больше или равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Эти вероятности можно использовать для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины следующим образом.

Предположим, что гипотеза верна. Выберем вероятность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения настолько малой, чтобы ее можно было считать вероятностью практически невозможного события. Для выбранного Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числа степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияиз таблицы распределения величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Если гипотеза верна, то значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения являются практически невозможными, их следует отнести к критической области.

Итак, построена критическая область: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. В предположении, что гипотеза верна, на основе опытных данных вычисляется Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Обозначим это вычисленное значение через Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, то произошло событие, которое практически невозможно при верной гипотезе. Это дает повод в гипотезе усомниться и объяснить такое большое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения неудачным выбором гипотезы, поскольку расхождения между Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения случайными признать нельзя. При Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения гипотеза отвергается.

Если же окажется, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то расхождение между гипотезой и опытными данными можно объяснить случайностями выборки. В этом случае можно заключить, что гипотеза не противоречит опытным данным, или что гипотеза правдоподобна. Это, конечно, не означает, что гипотеза верна. Скромность вывода в последнем случае можно объяснить тем, что согласующиеся с гипотезой факты гипотезы не доказывают, а делают ее лишь правдоподобной. В то же время всего один факт, противоречащий гипотезе, ее отвергает.

Замечание 1. Хотя и маловероятно, чтобы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при верной гипотезе превзошло уровень Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения но это все-таки может случиться и верная гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого события равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и ее можно рассматривать как вероятность ошибки, как вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна. Напомним, что вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается, называют уровнем значимости критерия. Не следует думать, что чем меньше уровень значимости, тем лучше. При слишком малых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения критерий ведет себя перестраховочно и бракует гипотезу только при кричаще больших значениях Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 2. Каждый разряд вносит в величину Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вклад, равный Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – среднее число попаданий в данный разряд, если гипотеза верна. При малых значениях Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения велика роль каждого отдельного наблюдения. Например, если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в этот разряд попало одно 205 наблюдение, то вклад в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения этого разряда равен Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения этот вклад будет равен всего лишь Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения В итоге при малом Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения от попадания или непопадания в этот разряд наблюдаемого значения существенно зависит окончательный вывод. Чтобы снизить роль отдельных наблюдений, обычно рекомендуется сделать разбивку на разряды так, чтобы все Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения были достаточно большими. На практике это сводится к требованию иметь в каждом разряде не менее пяти – десяти наблюдений. Для этого разряды, содержащие мало наблюдений, рекомендуется объединять с соседними разрядами.

Пример №1

Были исследованы 200 изготовленных деталей на отклонение истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные исследований приведены в виде статистического ряда: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Требуется по данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о типе закона распределения отклонений. Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). Построить на том же графике функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить согласуется ли выдвинутая гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Решение. Для того чтобы получить представление о виде закона распределения изучаемой величины, построим гистограмму. Для этого над каждым интервалом построим прямоугольник, площадь которого численно равна частоте попадания в интервал (рис. 3.6.3).Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

По виду гистограммы можно выдвинуть предположение о том, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения. Параметры нормального закона (математическое ожидание и дисперсию) оценим на основе опытных данных, считая в качестве представителя каждого интервала его середину:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Итак, выдвинем гипотезу, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения т.е. имеет функцию плотности вероятности

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

График Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения удобно строить с помощью таблицы функции Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (см. прил., табл. П1):

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Например, точка максимума и точки перегиба имеют ординаты соответственноПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

График функции Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения приведен на рис. 3.6.3.

Вычислим меру расхождения между выдвинутой гипотезой и опытными данными, т.е. величину Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Для этого сначала вычислим вероятности, приходящиеся на каждый интервал в соответствии с гипотезой:Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения удобно вести, оформляя запись в виде таблицы. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Итак, мера расхождения между гипотезой и опытными данными равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Построим критическую область для уровня значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Число степеней свободы для Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равно двум. Так как число интервалов равно пяти, а на величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наложены три связи: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения В итоге Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для заданного уровня значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числа степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим из таблицы распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (см. прил., табл. П4) критическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в критическую область не входит. Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит. Меру расхождения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно объяснить случайностями выборки.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №2

В виде статистического ряда приведены сгруппированные данные о времени безотказной работы 400 приборов.Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Согласуются ли эти данные с предположением, что время безотказной работы прибора имеет функцию распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения? Уровень значимости взять, например, равным 0,02.

Решение. Вычислим вероятности, приходящиеся в соответствии с гипотезой на интервалы:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Число степеней свободы равно трем, так как на четыре величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наложена только одна связь Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для трех степеней свободы и уровня значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) критическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения входит в критическую область. Вывод: гипотеза противоречит опытным данным. Гипотезу отвергаем и вероятность того, что мы при этом ошибаемся, равна 0,02.

Ответ. Гипотеза опытным данным противоречит.

Пример №3

Монету подбросили 50 раз. Герб выпал 32 раза. С помощью критерия «хи-квадрат» проверить, согласуются ли эти результаты с предположением, что подбрасывали симметричную монету.

Решение. Выдвинем гипотезу, что монета была симметричной. Это означает, что вероятность выпадения герба при каждом броске равна 1/2. В описанном опыте герб выпал 32 раза и 18 раз выпала цифра. Вычисляем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Число степеней свободы для Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения так как слагаемых два, а связь на величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наложена одна: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для числа степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и уровня значимости, например, равного Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4), что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения критическую область для величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения составляют значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вычисленное значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения попадает в критическую область, гипотеза отвергается. Вероятность того, что мы при таком выводе ошибаемся, равна 0,05.

Ответ. Предположение о симметричности монеты не согласуется с опытными данными.

Пример №4

Для каждого из 100 телевизоров регистрировалось число выходов из строя в течение гарантийного срока. Результаты представлены в виде статистического ряда:Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Согласуются ли эти данные с предположением о том, что число выходов из строя имеет пуассоновский закон распределения?

Решение. Если случайная величина Х – число выходов из строя телевизора, имеет пуассоновский закон распределения, тоПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где параметр Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения неизвестен.

Оценим параметр из опытных данных. В законе распределения Пуассона параметр Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равен математическому ожиданию случайной величины. Оценкой математического ожидания служит среднее арифметическое:Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Итак, выдвигаем гипотезу, что изучаемая случайная величина имеет закон распределения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Для проверки выдвинутой гипотезы зададим уровень значимости, например, равный 0,02. Последние три разряда, содержащие мало наблюдений, можно объединить. В итоге имеем три разряда и число степеней свободы равно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения так как на величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наложены две связи: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) для заданного Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числа степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим, что критическая область имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим теперь Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. В соответствии с выдвинутой гипотезой разряды имеют вероятности:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения произведем, фиксируя промежуточные результаты в таблице.Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычисленное значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза о пуассоновском законе распределения изучаемой случайной величины опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза не противоречит опытным данным.

Пример №5

В течение пяти рабочих дней недели на контактный телефон фирмы поступило соответственно 69, 50, 59, 75, 47 звонков. Можно ли считать при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения что интенсивность звонков не зависит от дня недели?

Решение. Сначала построим критическую область. Общее количество звонков равно 300. Число степеней свободы равно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, так как разрядов пять, а связей одна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения По таблице распределения «хи- квадрат» находим для Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения что критическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Итак, критическая область имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Выдвинем гипотезу, что интенсивность звонков не зависит от дня недели, т.е. с вероятностью 1/5 каждый вызов может поступить в любой рабочий день недели.

В предположении, что гипотеза верна, вычислим значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Вычисление удобно оформить в виде таблицы.Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Сумма элементов последнего столбца дает Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин

Постановка задачи. Можно ли по результатам наблюдений двух случайных величин сделать вывод об их зависимости или независимости. В приложениях эта задача имеет следующую постановку. Пусть каждый элемент генеральной совокупности обладает двумя признаками A и B, признак A имеет градации (или уровни) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения признак B различается по уровням Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Возникает вопрос, связаны ли друг с другом эти признаки?

Естественно считать, что A и B независимы, если при выборе любого элемента генеральной совокупности независимы события «признак A принимает значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения» и «признак B принимает значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения» при всех Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Формально это означает, что

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

для всех Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Проверить непосредственно выполнение соотношения (3.6.4) нет возможности, так как значения входящих в него вероятностей неизвестны.

Пусть у взятых наугад Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения членов генеральной совокупности определены величины признаков A и B. По этим результатам можно найти Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – число наблюдений пары значений признаков Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Тогда общее число наблюдений значений признака Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равноПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, число наблюдений признака Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равноПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Обычно результаты наблюдений оформляют в виде таблицы, которую называют таблицей сопряженности признаков.

Таблица сопряженности признаков:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Введем обозначения для вероятностей. ПоложимПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Необходимо проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения для всех парПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Если наблюдений много (хотя бы несколько десятков), то по теореме БернуллиПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Критерий основан на сравнении наблюдаемых чисел появления комбинаций признаков с числами появлений, которые должны были бы быть, если бы признаки были независимы и не подвергались различным случайностям.

Поскольку вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то за оценку вероятности совместного появления событий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно принять произведение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (обе эти дроби – оценки соответствующих вероятностей). Тогда теоретическое число наблюдений пары Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения должно быть равнымПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Эту величину можно назвать теоретическим числом появлений пары Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. При верной гипотезе величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения не должны значительно отличаться от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения О степени расхождения между ними можно судить по величинеПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Если гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения о независимости верна, то при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет распределение «хи-квадрат» с Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы. Число степеней свободы определяется из следующих соображений. Всего слагаемых  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения На них накладываются связи. Прежде всего,

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Определяя Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения мы воспользовались Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равенствами (3.6.5), но в силу  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения фактически независимых слагаемых будет Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Из тех же соображений в равенствах (3.6.6) только Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения слагаемое является независимым. Поэтому число степеней свободы

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

В таблице распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по заданному уровню значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения такое, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Остается вычислить фактическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Если оно попадает в критическую область, то гипотеза отвергается, при этом вероятность ошибочности этого вывода равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Если вычисленное значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения не входит в критическую область, то гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №6

Данные о сдаче экзамена 246 студентами сгруппированы в зависимости от места окончания студентом средней школы.Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Можно ли по этим данным заключить, что успеваемость студентов практически не зависит от места получения ими среднего образования? (Уровень значимости взять, например, равным 0,05.)

Решение. Предположим, что успеваемость студентов не зависит от места получения среднего образования (это гипотеза, которую предстоит проверить). Число степеней свободы равно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для уровня значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числа степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) находим критическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Критическую область Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения составляют значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Вычислим фактическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по формуле (3.6.7):

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вычисленное значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения т.е. не является критическим. Расхождения в данных по успеваемости можно объяснить случайными факторами (случайный отбор студентов, случайности при выборе билета на экзамене и т.д.).

Ответ. Предположение о независимости успеваемости студентов от места получения ими среднего образования не противоречит опытным данным.

Проверка параметрических гипотез

Критерий для проверки гипотезы формируют за счет отнесения к критической области выборок, которые при данной гипотезе наименее вероятны. Но может оказаться, что одинаково маловероятных выборок при данной гипотезе больше, чем это необходимо для формирования критерия данного уровня значимости. Тогда трудно решить какие именно выборки следует включать в критическую область. Этих трудностей можно избежать, если вместе с проверяемой гипотезой рассматривать и альтернативные гипотезы.

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения тип которой известен. Значение параметра Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения неизвестно, но для Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения определено множество допустимых значений Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Обычно гипотеза об истинном значении параметра Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения сводится к утверждению, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения принадлежит некоторому множеству Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Например, в качестве w может быть названо одно из допустимых значений.

Определение. Параметрической статистической гипотезой Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения называется утверждение, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения называют нулевой гипотезой и считают, что она истинна, если действительно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения нулевую гипотезу называют ложной.

Гипотеза, однозначно определяющая вероятностное распределение, называется простой. В противном случае гипотезу называют сложной. Например, гипотеза о симметричности и однородности игрального кубика проста, так как однозначно определяет вероятности всех исходов при подбрасывании кубика. Гипотеза о том, что ошибка измерений имеет нормальный закон распределения, является сложной, так как при разных значениях параметров получаются разные нормальные законы распределения.

Простая параметрическая гипотеза против простой альтернативы может быть описана указанием одной точки Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияи одной точки Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Параметрическую гипотезу проверяют по обычной схеме. Производят Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения наблюдений случайной величины, в результате которых получают некоторые результаты Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения В выборочном пространстве Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения формируется критическая область Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Но выбор критической области при наличии альтернативной гипотезы имеет свои особенности.

При любом критерии проверки статистической гипотезы по результатам наблюдений возможны ошибки двух типов: ошибка первого рода возникает при отклонении гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, когда она верна, а ошибка второго рода совершается, если принимается ложная гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения.

Обозначим через Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вероятность того, что выборка Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения попадет в критическую область, если значение параметра равно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Эта вероятность как функция параметра называется функцией мощности критерия Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. При каждом Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения эта функция показывает с какой вероятностью статистический критерий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отклоняет гипотезу, если на самом деле Х имеет функцию распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равна вероятности ошибки первого рода. Величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равна вероятности ошибки второго рода. Это вероятность непопадания в критическую область, т.е. вероятность принятия гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, когда эта гипотеза ложная.

Разным критериям для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения сопутствуют разные вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Естественно желание сделать обе эти вероятности минимально возможными. Но обычно уменьшение одной из них влечет увеличение другой. Необходимо компромиссное решение, которое достигается следующим образом. Выбирают вероятность практически невозможного события в качестве уровня значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Это и есть вероятность ошибки первого рода. Критическую область формируют так, чтобы при заданном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, вероятность ошибки второго рода была как можно меньше.

Учет ошибок первого и второго рода позволяет сравнивать между собой критерии. Пусть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – два критерия для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, имеющие одинаковые уровни значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Если при этомПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

и

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

то критерий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения называют более мощным, чем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Из определения видно, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет большую вероятность отвергнуть ложную гипотезу при одинаковой с Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вероятности ошибки первого рода. Если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения мощнее любого другого критерия, имеющего уровень значимости a, то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения называют наиболее мощным критерием.

Пусть необходимо проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Для определенности рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией плотности вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения где параметр Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения неизвестен. Если наблюдения независимы, то выборочная точка Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения будучи многомерной случайной величиной, имеет функцию плотности вероятностиПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Согласно сформулированным требованиям относительно ошибок первого и второго рода, критическую область следует выбрать так, чтобы при заданном Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вероятность

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

и при этом вероятность

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

была наибольшей.

Такую задачу впервые решили в начале тридцатых годов прошлого века Ю. Нейман и Э. Пирсон, и полученный ими результат носит их имя. Для формулировки этого результата понадобится понятие взаимной абсолютной непрерывности функций, которое состоит в том, что в каждой точке функции или обе равны нулю, или обе нулю не равны.

Лемма Неймана–Пирсона

Если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения взаимно абсолютно непрерывны, то для любого Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно указать Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения что точки выборочного пространства, в которых

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

образуют критическую область Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения для которой Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При этом Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения будет наиболее мощным критерием для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Для дискретных величин в неравенстве (3.6.8) роль Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения играет вероятность именно тех результатов наблюдений, которые получены, т.е Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пример №7

Известно, что при тщательном перемешивании теста изюмины распределяются в нем примерно по закону Пуассона, т.е. вероятность наличия в булочке Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения изюмин равна приблизительно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – среднее число изюмин, приходящихся на булочку. При выпечке булочек полагается по стандарту на 1000 булочек 9000 изюмин. Имеется подозрение, что в тесто засыпали изюмин меньше, чем полагается по стандарту. Для проверки выбирается одна булочка и пересчитываются изюмины в ней.

Построить критерий для проверки гипотезы о том, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вероятность ошибки первого рода взять приблизительно 0,02.

Решение. Для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативыПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияпо лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, для которых

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где С – некоторая постоянная.

Тогда Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Логарифмирование этого неравенства приводит к неравенству Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Итак, в критическую область следует включить значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения где значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения зависит от ошибки первого рода. При Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по формуле Пуассона получаем вероятности:

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда следует, что если включить в критическую область значения для числа изюмин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то вероятность ошибки первого рода будет равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Итак, если изюмин в булке окажется три или меньше гипотезу следует отвергнуть в пользу ее альтернативы.

Заметим, что при добавлении в критическую область значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вероятность ошибки первого рода останется достаточно малой Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пример №8

Изготовитель утверждает, что в данной большой партии изделий только 10% изделий низкого сорта. Было отобрано наугад пять изделий и среди них оказалось три изделия низкого сорта. С помощью леммы Неймана–Пирсона построить критерий и проверить гипотезу о том, что процент изделий низкого сорта действительно равен 10 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы, что процент низкосортных изделий больше 10 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вероятность ошибки первого рода выбрать 0,01. Какова вероятность ошибки второго рода, если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения?

Решение. Согласно проверяемой гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при альтернативном значении 1 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения По лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения k, для которых

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где С – некоторая постоянная.

После сокращения на Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения неравенство приводится к видуПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Прологарифмируем обе части неравенстваПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

или

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то выражение в скобке неотрицательно. Поэтому 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Значит, в критическую область следует включить те из значений Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения которые больше некоторого Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения зависящего от уровня значимости (от вероятности ошибки первого рода). Для определения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в предположении, что гипотеза верна, вычисляем вероятности: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Если к критической области отнести значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то вероятность ошибки первого рода будет равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

В условиях задачи оказалось, что среди пяти проверенных три изделия бракованных. Значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения входит в критическую область. Гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отвергаем в пользу альтернативы. Вероятность того, что мы это делаем ошибочно, меньше 0,01.

Вероятностью ошибки второго рода называется вероятность принять ложную гипотезу. Гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения будет принята при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Если вероятность изготовления бракованного изделия на самом деле равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то вероятность принять ложную гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность ошибки второго рода велика потому, что критерий построен на скудном статистическом материале (всего пять наблюдений!).

Ответ. При уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу отвергаем.

Пример №9

Количество первосортных изделий в крупной партии не должно быть менее 90%. Для проверки выбрали наугад 100 изделий. Среди них оказалось только 87 изделий первого сорта. Можно ли считать при вероятности ошибки первого рода, равной 0,05, что в данной партии менее 90 % первосортных изделий?

Решение. Построим критическую область для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и посмотрим, попадает ли значение 87 в критическую область. Из леммы Неймана–Пирсона следует (см. рассуждения в примере 3.19 только с учетом неравенства Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения), что существует такое Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, что меньшее или равное k0 число первосортных изделий следует отнести к критической области. Так как независимых опытов проделано много (Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения), то можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, согласно которой

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Откуда, с учетом нечетности функции Лапласа, имеем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения или Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) 227 находим, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – целое число, то 0 k = 85. Итак, критическую область для проверки нулевой гипотезы составляют значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Число 87 в критическую область не попадает. Нет оснований сомневаться в том, что в данной партии не менее 90% первосортных изделий.

Ответ. Наличие в выборке менее 90% первосортных изделий можно объяснить случайностями выборки.

Пример №10

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения причем значение дисперсии Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения известно. Получены Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – результаты Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения независимых наблюдений случайной величины. Построить критерий для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения полагая вероятность ошибки первого рода Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Так как наблюдения независимы, то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения-мерная случайная величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет плотность вероятности, равную произведению плотностей вероятности своих компонент: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому по лемме Неймана–Пирсона к критической области должны быть отнесены те выборки, для которыхПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

После логарифмирования неравенства получаемПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

откуда 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как по условию Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Итак, в критическую область следует включать выборки, для которых  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Свяжем значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения с величиной ошибки первого рода. Так как нормальный закон устойчив, то сумма Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет тоже нормальный закон распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Если гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения верна, то значение С3 можно найти из условияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Это означает, что аргумент функции Лапласа отрицателен. В силу нечетности функции Лапласа имеем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения По таблице функции Лапласа находим, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Поэтому Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Значит, Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Итак, если сумма Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения окажется меньше величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения следует отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка гипотезы о значении медианы

Пусть Х непрерывная случайная величина, а m – значение ее медианы, т.е. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проделано n независимых наблюдений над случайной величиной. Можно ли считать по их результатам Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения что значение медианы равно m0 против альтернативы, что значение медианы равно m1 (для определенности пусть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения )?

Предположим, что значение m действительно равно m0 (т.е. верна нулевая гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения ) и рассмотрим последовательность величин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Если гипотеза верна, то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Подсчитаем число положительных разностей Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в нашей выборке и обозначим его через S.

Величину S можно представить в виде Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Заметим, что случайная величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения принимает два значения 0 и 1 с вероятностями Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения каждое, если гипотеза верна. Поэтому при верной нулевой гипотезе величина S имеет биномиальное распределение:Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что при медиане равной Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вероятность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения В итоге задача сводится к проверке гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения против альтернативы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Согласно лемме Неймана–Пирсона для любого Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения существует такая постоянная величина С > 0 , что значения k, для которых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

образуют критическую область наиболее мощного критерия. Так же как и в примере 3.19 легко показать, что в критическую область следует относить в первую очередь самые маленькие значения k. Остается только найти наибольшее k, для которого Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – вероятность ошибки первого рода.

Пример №11

По результатам независимых наблюдений случайной величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения исследователь в отношении медианы m отверг гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и принял альтернативную гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Какова вероятность ошибки первого рода при таком выводе?

Решение. Ошибка первого рода совершается, когда отвергается верная гипотеза. Предположим, что нулевая гипотеза верна и медиана m действительно равна 3,5. Только в трех наблюдениях результаты превосходят 3,5. Как было показано выше, при альтернативе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в критическую область следует включать в первую очередь малые значения k. Значение k = 3 было отнесено исследователем к критической области. В предположении, что гипотеза верна имеемПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Откуда  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий

Пусть над случайной величиной X проделано n независимых наблюдений, в которых получены результаты Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения а над величиной Y проделано m независимых наблюдений и получены значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Предположим, что известны дисперсии Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения но неизвестны математические ожидания Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Пусть, кроме того, каждая серия состоит из достаточно большого числа наблюдений (хотя бы несколько десятков в каждой серии). Построим критерий для проверки по результатам наблюдений гипотезы о том, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Предположим, что гипотеза верна. Так как серии опытов достаточно велики, то для средних арифметических имеем приближенные равенстваПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияЕсли гипотеза верна, то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения должна быть относительно малой. Напротив, большие значения этой величины плохо согласуются с гипотезой. Поэтому критическую область составят те серии наблюдений, для которых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения где С – некоторая постоянная величина.

Свяжем эту постоянную C с уровнем значимостиПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Согласно центральной предельной теореме каждая из величин Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияраспределена приблизительно нормально, как сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями. С учетом того, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно утверждать, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет распределение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения a Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения – распределение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Из факта устойчивости нормального закона распределения можно заключить, что при верной гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Запишем для нормального закона распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения стандартную формулу (????):

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

или 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

По заданному Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) найдем такое Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения чтобы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения или Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Тогда при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения правая часть равенства (3.6.9) будет равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения критическую область для проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий составят те серии наблюдений, для которых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Замечание 1. Если дисперсии неизвестны, то большое число наблюдений в каждой серии позволяет достаточно точно оценить дисперсии по этим же опытным данным:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пример №12

Среднее арифметическое результатов 25 независимых измерений некоторой постоянной величины равно 90,1. В другой серии из 20 независимых измерений получено среднее арифметическое, равное 89,5. Дисперсия ошибок измерения в обоих случаях одинакова и равна Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  Можно ли считать, что измерялась одна и та же постоянная величина?

Решение. Выдвигаем гипотезу, что в каждой из серий измерялась одна и та же постоянная величина. Зададимся, например, уровнем значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения По таблице значений функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Тогда критическая область для проверки гипотезы определяется неравенством Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Так как в нашем случае Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то сомневаться в том, что измерялась одна и та же постоянная величина, оснований нет. Расхождения в значениях средних арифметических можно объяснить ошибками измерений.

Ответ. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит опытным данным.

Пример №13

По двум независимым выборкам объемов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения = 10 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения D(X)>D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

находим число:   Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения, то нет основания отвергать гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №14

По двум независимым выборкам объемов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=10 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения D(X)≠D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 1), учитывая значения 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

находим число:   Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения , то нет основания отвергать гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения.

Ответ: гипотеза H0 : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №15

По трем независимым выборкам объемов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения = 10 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения = 15 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и  Z найдены оценки дисперсий: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : D(X)=D(Y)=D(Z).
 

Решение. 1) По данным выборок вычисляем: 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) По табл.  П 2.5 (см. приложение 2), учитывая значения 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

находим число

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) Сравниваем: так как 2,06 < 6,0 , т.е. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения , следовательно нет основания отвергать нулевую гипотезу.
Ответ: гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : D(X) = D(Y) =D(Z)  принимают.

Пример №16

По двум независимым выборкам объемов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=10 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки математических ожиданий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и исправленные выборочные дисперсии  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения. Проверить нулевую гипотезу:   Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения :
M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : M(X) ≠ M(Y) и уровне значимости α = 0,01.
 

Решение  1) Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то предварительно проверим гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения: D(X)>D(Y). Для этого поступаем по аналогии с решением 1 задачи.

а) По данным выборки вычисляем

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

б) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

находим число:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

в) Сравниваем: так как 1,44 < 3,89, т.е.  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, то есть различие между    Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения= 0,62 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения= 0,43 считаем незначительным.

2) Проверим гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  :  M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе
Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
а) Найдем по табл.  П 2.6 (см. приложение 2) значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по заданному α = 0,01 и числу k = 10 + 16 – 2 = 24 :
Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
б) Найдем число Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

в) Сравнить числа  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  :  M(X) = M(Y) о равенстве средних принимается.
Ответ: гипотеза  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  :  M(X) = M(Y) принимается.

Пример №17

По двум независимым выборкам объемов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=10 и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения=16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, с дисперсиями Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вычислены оценки математических ожиданий  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : M(X) = M(Y)  и конкурирующей гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения : M(X) ≠ M(Y).
 

Решение. Воспользуемся замечанием 6. 1) Вычислим:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) Находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения из уравнения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

используя табл. П 2.2 (см. приложение 2).
Следовательно,

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) Сравниваем: так как 2,19 > 1,96, т.е. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения , то гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отвергают.
Значит, различие генеральных математических ожиданий значительное.
Ответ: гипотеза  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  :  M(X) = M(Y) отвергается, т.е. M(X) ≠ M(Y).

Определение статистической гипотезы

Определение: Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Выдвинутую гипотезу называется основной (нулевой) и обозначается Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПротиворечащую ей называется конкурирующей (альтернативной) и обозначается Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из простых.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения -ошибка первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу).

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения -ошибка второго рода (вероятность принять неверную нулевую гипотезу). При увеличении Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения возрастает и Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения И наоборот. Единственный способ одновременного уменьшения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - увеличение количества испытаний. Величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения носит название мощности критерия.

Статистический критерий проверки основной гипотезы Н0

Статистический критерий проверки основной гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

 Определение. Для проверки основной гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которое известно. Эта случайная величина называется статистическим критерием или просто критерием Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Областью принятия гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения называется совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Точки, отделяющие область принятия гипотезы от критической области, называется критическими точками. Критическая область может быть:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Выбор одного из этих случаев определяется видом конкурирующей гипотезы.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Основные шаги при проверке статистических гипотез:

1) выдвигаем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) выдвигаем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) задаем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - уровень значимости

4) строим статистический критерий

5) строим критическую область

6) считаем наблюдаемое значение критерия и сравниваем с критическими точками

7) если наблюдаемое значение попадает в область принятия гипотезы, то нет причины отвергать Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения если наблюдаемое значение попадает в критическую область, то Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отвергается на заданном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона

Пусть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения- генеральная совокупность (случайная величина) с неизвестной функцией распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения- выборка (результаты измерений;  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

1) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения выборка сделана из генеральной совокупности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения с функцией распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения функция распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отлична от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) задаем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - уровень значимости

4) строим статистический критерий

Разобьем область, которой принадлежат результаты измерений, на Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияпромежутков Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения одинаковой длины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пусть

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - количество значений Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения из числа наблюдаемых, которые принадлежат Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - вероятность того, что значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения принадлежат промежутку Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решениявычисленная в предположении справедливости нулевой гипотезы; 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - относительная частота попадания значений Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения из числа наблюдаемых  промежуток Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Тогда

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - эмпирическая функция распределения.

За меру отклонения истинной функции распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения от эмпирической Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения возьмем следующую случайную величину Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Теорема Пирсона:

Какова бы ни была Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения распределение величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения стремится к распределению хи-квадрат с Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы.

Замечание. Если в процессе проверки гипотезы приходится производить оценку параметров распределения, то количество степеней свободы  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияуменьшается на количество неизвестных параметров.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения -статистический критерий для проверки нулевой гипотезы

5)    строим критическую область

Критическая область - правосторонняя

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения квантиль распределения хи-квадрат с Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы.

6) считаем наблюдаемое значение критерия Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и сравниваем его с критическим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

7) Вывод: если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в противном случае Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отвергается на заданном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пример №18

По выборке объема Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

В качестве параметров нормального распределения выберем их точечные оценки: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
1) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения генеральная совокупность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения имеет нормальное распределение с параметрами Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
2) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения распределение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отлично от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
3) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
4) строим статистический критерий

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Замечание: если для какого-либо интервала не выполняется условие Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то этот интервал объединяется с соседним интервалом.

1,384 - наблюдаемое значение статистического критерия Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
5) строим критическую область

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения квантиль распределения хи-квадрат с Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы порядка 1-Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения число неизвестных параметров распределения, которые пришлось оценивать. Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

7) Вывод: нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Критерий Колмогорова - Смирнова

в классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона; используется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического любому теоретическому непрерывному распределению Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения с заранее известными параметрами: применим для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала. 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения _ выборка (результаты измерений; Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

1) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения выборка сделана из генеральной совокупности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения с функцией распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения функция распределения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отлична от Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3) Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - уровень значимости

4)    строим статистический критерий

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - статистика критерия Колмогорова

5)    строим критическую область

Критическая область - правосторонняя; критические значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  составляют: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияПроверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

6) сравниваем наблюдаемое значение критерия Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения с критическим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

7) Вывод: если Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в противном случае Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения отвергается на заданном уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка гипотез о параметрах известного распределения генеральной совокупности

Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности 

 Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - выборка

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Пример №19

На завод поступила партия станков. По результатам исследования 13 станков найдена исправленная выборочная дисперсия размера изготовления станками деталей Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Требуется ли дополнительная наладка станка, если допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения -уровень значимости)

Решение:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения нет основания отвергнуть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения на уровне значимости 0,01, следовательно подналадка не нужна.

Проверка гипотез о параметре Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения биномиального распределения.

(сравнение относительной частоты с гипотетической вероятностью Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения появления события в отдельном испытании)

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения выборка;

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

В электронных таблицах Excel для проверки гипотез о параметрах нормально распределенных генеральных совокупностей по результатам экспериментов есть специальные тесты, упрощающие процедуру вычислений.

Двухвыборочный Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения-тест для средних служит для проверки гипотезы о различии между средними математическими ожиданиями двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

Двухвыборочный Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения-тест с одинаковыми (различными) дисперсиями используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Парный двухвыборочный Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения-тест используется для проверки гипотезы о равенстве средних в том случае, если обе выборки сделаны из одной и той же генеральной совокупности (например, в разные моменты времени, до и после какого-либо воздействия).

Двухвыборочный  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - тест для дисперсий служит для проверки гипотез о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Пример №20

На предприятии провели выборочный опрос работающих об их средней заработной плате за предыдущий год. Данные опроса представлены в табл. 1.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

С  помощью  критерия  Пирсона  проверить  гипотезу  о  том,  что средняя заработная  плата  по  всему  предприятию  распределена  по нормальному закону с уровнем значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение. Найдем функцию распределения признака  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  в генеральной совокупности,  применяя  формулу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения
Для  этого  предварительно  вычислим  среднюю  выборочную  и  исправленную статическую дисперсию  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

За функцию распределения признака  Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения  в генеральной совокупности принимается Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Выполним разбиение области значений случайной величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения на  интервалы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения таким  образом, чтобы частоты были больше или равны 5. Разбиение представлено в табл. 2.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Для расчета теоретического ряда частот необходимо предварительно вычислить значения вероятностей Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по формуле

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

и применить формулу для вычисления теоретических частот:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где - Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Например.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Значение функции Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вычисляется по табл. П2 (часть 1) значений функции Лапласа. Результаты вычислений представим в табл. 3.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Значения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вычислим по формуле Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как два параметра распределения признака в генеральной совокупности находились на основании выборки, то функцию Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения можно приближенно считать распределенной по закону Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы (здесь число интервалов Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения поскольку оценивались два параметра закона распределения). При уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения границей критической области будет Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (по табл. П5). Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то гипотеза Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Следует отметить, что на практике все шире начинают применять критерии согласия не столько для проверки согласия экспериментальных данных с некоторой гипотетической функцией, сколько для подбора наилучшей функции распределения, хотя выбор подходящего закона должен основываться прежде всего на понимании механизма изучаемого явления.

Пример №21

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений на остановке автобуса, имеющего пятиминутный интервал движения.
Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверить гипотезу о равномерном законе распределения.

Решение. 1. Вычисляем по данному вариационному ряду вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения попадания Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в интервал по формуле

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2. Для проверки гипотезы о том, что число появлений автобуса на остановке есть случайная величина, распределенная по равномерному закону, вычисляем критерии Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения для чего составим таблицу.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Контроль: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вычисления произведены правильно.

3. Определяем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по заданному уровню значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то есть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

4.Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отклонить гипотезу о равномерном распределении Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения на отрезке [0; 5].

Пример №22

Рассмотрим вариационный ряд.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

1. Если построить гистограмму частостей, то ее вид будет напоминать экспоненциальную кривую. Поэтому произведем «выравнивание» статистических данных по показательному закону. Запишем его дифференциальную функцию:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения точечной оценки параметра Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вначале вычислим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решениязаменив каждый интервал его серединой:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, дифференциальная функции предполагаемого показательного закона распределения имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2. Для проверки соответствия эмпирических данных с предполагаемым показательным законом распределения применим критерий согласия Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3. Вычислим вероятности попадания случайной величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения в частичные интервалы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по формуле

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Для нахождения Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения построим вспомогательную таблицу.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

4. Найдем в таблице критических точек Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения распределения по уровню значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решениякритическое значение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

5. Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований для отклонения гипотезы об экспоненциальном законе распределения.

Пример №23

Из продукции цеха случайно отобрано 200 выборок по 5 деталей. Регистрировалось число бракованных деталей. В итоге получен вариационный ряд:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Требуется, используя критерий Пирсона при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (число бракованных деталей) распределена по биноминальному закону.

1. Найдем частость Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и применим ее в качестве оценки вероятности того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

По формуле Бернулли Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения найдем вероятности Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения того, что интересующее нас событие появится в Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения испытаниях ровно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения раз.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2. Для проверки нулевой гипотезы выдвигаем критерий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

где Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - число групп выборки, оставшихся после объединения.

3. Вычисляем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона мы объединим эмпирические частоты Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения После объединения число групп выборки Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

4. Находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения один параметр (вероятность Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения оценивался по выборке, то есть Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения поэтому при определении числа степеней свободы

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения значит, нет основании отклонить нулевую гипотезу о биноминальном законе распределения.

Пример №24

Проведено наблюдение за числом вызовов телефонной станции. С этой целью в течение 100 случайно выбранных 5-секундных интервалов времени регистрировалось число вызовов. Получен следующий вариационный ряд:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверить, используя критерий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения гипотезу о том, что распределение числа вызовов согласуется с законом Пуассона. Уровень значимости принять Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность ровно Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения вызовов в течение Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения случайно выбранных отрезков времени вычисляется по формуле Пуассона:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

1. Найдем точечную оценку параметра Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения генеральной совокупности:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, функция вероятностей предполагаемого закона Пуассона имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2.Применим критерии Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

3. Находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Для этого все необходимые вычисления приводим в табл. 7.

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Контроль: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Вычисления произведены верно.

4. По таблице П5 по заданному уровню значимости и числу степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения найдем Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

5. Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований для отклонения гипотезы о том, что закон распределения числа вызовов на телефонной станции является законом Пуассона.

Итак, мы рассмотрели критерий Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при помощи которого проверяли гипотезу о согласии данных выборки с конкретным теоретическим законом распределения для любой случайной величины как непрерывной, так и дискретной.

Пример №25

Менеджер кредитного отдела нефтяной компании выясняет, является ли среднемесячный баланс владельцев кредитных карточек, равным 75 у.е. Аудитор случайным образом отобрал 100 счетов и нашел, что среднемесячный баланс владельцев составил 83,4 у.е. с выборочным стандартным отклонением, равным 23,65 у.е. Определить на 5%-м уровне значимости, может ли этот аудитор утверждать, что средний баланс отличен от 75 у.е.

Решение. 1. Исходя из условия задачи, сформулируем гипотезы: 

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - неизвестно. Уровень значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

2. Для проверки гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения применим критерий

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

с двусторонней критической областью.

3. Вычислим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

5. Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нулевая гипотеза отклоняется. Значит, среднемесячный баланс владельцев карточек отличен от 75 у.е.

Пример №26

По двум независимым выборкам, объемы которых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияизвлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения генеральные дисперсии известны: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Требуется при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения проверить нулевую гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при конкурирующей гипотезе: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения поэтому критическая область - двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

По таблице П2, часть 1, функции Лапласа находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нулевую гипотезу отвергаем, т. е. выборочные средние различаются значимо.

Пример №27

Менеджер предприятия решил выяснить, существует ли разница в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены. Случайно организованная выборка 10 рабочих дневной смены показала, что средний выпуск продукции составил 74,3 ед./ч, а выборочная дисперсия оказалась равной Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Выборка же 10 рабочих вечерней смены выявила, что средний выпуск продукции равнялся Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения На 1%-м уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения определить, существует ли разница в производительности труда рабочих вечерней и дневной смены.

Решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Дисперсия 20 больше дисперсии 17,8; дисперсия 18 больше дисперсии 16. Поэтому в качестве альтернативной примем гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения В этом случае критическая область правосторонняя. По таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числам степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - нет оснований отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние. Итак:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения (так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - имеем правостороннюю критическую область.

2. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

4. Находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения по таблице П6 критических точек распределения Стьюдента Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отклонить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения т. е.

не существует разницы в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены, а имеющие место различия случайны, незначимы.

Пример №28

Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Получены следующие результаты:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Требуется при уровне значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения проверить гипотезу Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения при альтернативной гипотезе Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Предполагается, что случайные величины Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решенияраспределены нормально.

Решение. Рассматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральные дисперсии одинаковы, но исправленные дисперсии различны, поэтому вначале нужно сравнить дисперсии, используя критерий Фишера-Сиедекора. Сделаем это, приняв в качестве альтернативной гипотезы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Найдем наблюдаемое значение критерия: Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Пo таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора находим Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральных дисперсий выполняется.

Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

По условию, альтернативная гипотеза имеет вид Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения поэтому критическая область двусторонняя. По уровню значимости Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения и числу степеней свободы Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения находим по таблице критических точек распределения Стьюдента критическую точку Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения

Так как Проверка статистических гипотез - определение и вычисление с примерами решения - нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних.

Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются.