Имеются данные по уровню ВВП, объему инвестиций в основной капитал Требуется: 1. Построить график связи между двумя признаками, определив какой из них является факторным (Х), а какой результативным (У). По графику

		Экономическая теория
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17598
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Имеются данные по уровню ВВП, объему инвестиций в основной капитал Требуется: 1. Построить график связи между двумя признаками, определив какой из них является факторным (Х), а какой результативным (У). По графику подобрать соответствующую модель уравнения регрессии. 2. Методом наименьших квадратов определить параметры уравнения регрессии. 3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 4. Найти средний коэффициент эластичности. 5. Оценить качество уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации. 6. Оценить значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости 0,05. 7. Охарактеризовать статистическую надежность уравнения регрессии по критерию F – Фишера при уровне значимости 0,05. 8. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если возможное значение факторного признака на 15 % больше его среднего значения по совокупности.

РЕШЕНИЕ 1. Определим наличие связи, ее характер и направление. В данном случае факторным признаком являются инвестиции в основной капитал, зависимым – ВВП. Исходные данные по признаку X располагаем в порядке возрастания, а по признаку Y записываются соответствующие им значения (Таблица 1). Таблица 1 - Ранжирование данных по признаку Х Инвестиции в основной капитал, Как видно из таблицы, с увеличением величины Х величина У также возрастает. Можно сделать предположение, что связь между ними прямая, и описать ее можно уравнением прямой, либо уравнением параболы второго порядка. Построим график зависимости переменных Х и Y в прямоугольной системе координат. На оси абсцисс откладываются значения факторного признака Х, а по оси ординат - результативного признака У. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи (рис.1). При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Рисунок 1. График зависимости переменных Х и Y Характер расположения точек на графике показывает, что связь между переменными может выражаться линейным уравнением регрессии  Найдем параметры уравнения регрессии методом наименьших квадратов, путем составления и решения следующей системы нормальных уравнений: Для проведения всех расчетов построим вспомогательную таблицу 3, в которой результаты вычислений округлены, а все средние значения находятся по формуле средней арифметической простой: Таблица 1. Вспомогательная таблица Инвестициии в основной капитал, млрд. руб. № п/п Инвест и-ции в основной капита Подставим полученные значения в систему уравнений, получим:  Решив систему методом подстановок, получим: Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: При линейной зависимости теснота связи между переменными Х и У определяется с помощью коэффициента корреляции: Корреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (средней величины) другой. , где σх и σу – средние квадратические отклонения по Так как значение полученного коэффициента корреляции довольно близко к единице, то между признаками связь тесная и прямая. Коэффициент детерминации — это квадрат коэффициента корреляции. Показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных. R 2 = 0,996 Коэффициент детерминации показывает, что 99,6% различий в ВВП объясняется вариацией инвестиций в основной капитал, а 0,4 % другими, неучтенными факторами. 4. Найдем средний коэффициент эластичности, который отражает, насколько процентов изменится зависимая переменная, при изменении независимой переменной на 1%. При линейной форме связи находится по формуле: средние значения признаков.  Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении инвестиций в основной капитал на 1%, ВВП увеличивается в среднем на 0,98%. 5. Качество уравнения регрессии оценивается при помощи средней ошибки аппроксимации: Фактические значения ВВП отличаются в среднем от расчетных значений, найденных по уравнению регрессии на 7,2%. Качество уравнения регрессии считается хорошим, если ошибка аппроксимации не превышает 8-10 %. Полученное уравнение регрессии можно оценить как достаточно хорошее. 6. Так как исходные данные являются выборочными, то необходимо оценить существенность или значимость величины коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу: коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю и изучаемый фактор не оказывает существенного влияния на результативный признак: при  Оценим значимость коэффициентов корреляции и регрессии по критерию t – Стьюдента при уровне значимости  = 0,05. Для этого необходимо сравнить наблюдаемое значение t-критерия (tн) с критическим значением (tкр), найденным по таблице. 1) Найдем наблюдаемое значение t – критерия:Критическое значение t находится по таблицам распределения t – Стьюдента при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы  для двухсторонней критической области.Так как то нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции существенно отличен от нуля в генеральной совокупности. Значит, инвестиции в основной капитал оказывают статистически существенное влияние на размер ВВП. Статистическая значимость коэффициента регрессии также проводится с использованием критерия t – Стьюдента. Расчет наблюдаемого значения производится по формуле:  Критическое значение t также равно 2,31. Так как tн > tкр, то коэффициент регрессии статистически значим. Подтверждается вывод о значимости влияния времени выбора товара на количество приобретенных товаров. 7. Статистическая надежность уравнения регрессии проверяется с использованием критерия F-Фишера. Рассматривается нулевая гипотеза: H0: r 2=0, при альтернативной  Наблюдаемое (фактическое) значение F – критерия находится по формуле:  При уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы число параметров при факторе  таблице находится критическое значение  то уравнение регрессии статистически значимое или надежное. 8. Прогнозное значение результативного признака определяется путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного или возможного значения факторного признака (хр). Определим прогнозное значение результативного признака (количества покупок), если возможное значение факторного признака составит 1,15 от его среднего уровня по совокупности. Среднее значение инвестиций составляет от этой величины составляет 1335,5 млрд. руб. Прогнозное значение ВВП рассчитываем, подставив значение в полученное уравнение регрессии.  Значит, при инвестициях в основной капитал в размере 1335,5 млрд. руб. возможное значение ВВП составило 8096,2 млрд. руб