Предприниматель решил открыть новый цех по производству детских игрушек. При этом он готов на развитие этого цеха выделить 3 млн. руб.

		Экономика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №17077
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Предприниматель решил открыть новый цех по производству детских игрушек. При этом он готов на развитие этого цеха выделить 3 млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить 𝑥 млн. руб., а на зарплату сотрудников 𝑦 млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит Как следует распределить выделяемые денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным?

Решение

Очевидно, что мы имеем дело с задачей об оптимизации производства, в которой целевая функция – прирост объема выпускаемой продукции данным предприятием – описывается функцией двух переменных Сведем решение последней задачи к исследованию функции одной переменной. По условию задачи на развитие этого цеха предприниматель готов выделить 3 млн. руб., которые распределяются между суммой млн. руб., выделяемой на приобретение нового оборудования, и суммой млн. руб., выделяемой на выплату зарплаты сотрудникам предприятия, Очевидно, что Разрешая последнее соотношение относительно 𝑦, получим Полученное выражение подставляем вместо в функцию прироста объема выпускаемой продукции. В результате имеем: Функция определена на промежутке Наибольшее значение функции на отрезке достигается либо на концах отрезка, либо в точках экстремума. Для нахождения экстремумов функции, продифференцируем ее: Для нахождения точек экстремума функции, приравниваем полученную производную к нулю. Решая полученное уравнение, находим  Убедимся, что является точкой максимума функции. Для этого исследуем знак производной функции правее и левее этой точки. Знак производной определяется числителем дроби Нетрудно заметить, что если дробь положительна, а при дробь будет отрицательной. Следовательно, при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, что свидетельствует о том, что точка является точкой максимума (Рис.2). Рис.2 Таким образом, прирост объема выпускаемой продукции будет максимальным, если на аренду помещения и приобретение нового оборудования будет выделено 1 млн. руб., а на зарплату сотрудников Ответ: