Случайный вектор (𝑋, 𝑌) распределен равномерно внутри треугольника с вершинами в точках (−2,0), (0, 𝑐), (0,0). Найти константу 𝑐, совместную

		Математическая статистика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16444
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайный вектор (𝑋, 𝑌) распределен равномерно внутри треугольника с вершинами в точках (−2,0), (0, 𝑐), (0,0). Найти константу 𝑐, совместную плотность распределения (𝑋, 𝑌), вероятность 𝑃((𝑋, 𝑌) ∈ 𝐺), где 𝐺 = {(𝑥, 𝑦): −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2}; плотности распределения случайных величин 𝑋 и 𝑌, 𝑚𝑋, 𝑚𝑌.

Решение

Изобразим треугольник с вершинами в точках  Площадь прямоугольного треугольника равна: 𝑆 = 1 2 ∙ 2 ∙ 𝑐 = 𝑐 Плотность распределения вероятности постоянна на площади треугольника и по свойствам функции плотности распределения вероятностей: Поскольку двойной интеграл представляет собой площадь треугольника, то эта площадь равна 1, значит, 𝑐 = 1. Изобразим треугольник 𝐴𝐵𝐶 при найденном значении 𝑐. Тогда выражение совместной плотности распределения двумерной случайной величины (𝑋, 𝑌) имеет вид: 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 1 в области 𝐴𝐵𝐶 0 вне области 𝐴𝐵𝐶 Уравнения сторон треугольника: На рисунке с треугольником 𝐴𝐵𝐶 изобразим область  Найдем вероятность попадания в область 𝐺.