Электрические цепи переменного синусоидального тока (Система уравнений по законам Кирхгофа)

Содержание:

Введение

Главной задачей расчёта электрических цепей является определение токов отдельных элементов цепи (источников, приёмников, приборов). Определив значение тока легко найти напряжение, мощность. Значение этих величин необходимо для того, чтобы правильно выбрать или оценить условие работы элементов цепи (путём сравнения рабочих величин с номинальными) расчёты проводят по схемам электрических цепей.

Схема электрической цепи в качестве модели изучаемых и анализируемых электромагнитных процессов в технических системах, устройствах и приборов нашла наибольшее применение благодаря следующим достоинствам.

Во-первых, схема электрической цепи по наглядности и графическому изображению в большей степени соответствует исходной схеме системы или прибора.

Во-вторых, схема электрической цепи позволяет математически описать процессы (составить их математическую модель) на основе математического аппарата законов, правил, математических соотношений, сформулированных для электрической цепи и её элементов.

В-третьих, схема цепи позволяет реализовать её физическую модель из ограниченного числа электротехнических приборов и деталей.

Основными элементами электрической цепи и их схем являются активные элементы (источники ЭДС и тока), а также так называемые геометрические элементы: ветвь, узел и контур.

Курсовой проект по ТОЭ предусматривает практическое применение изученных правил расчёта электрических цепей. Для расчёта тока применяется закон ОМА и правило Кирхгофа. Различные методы расчёта предусматривают широкий диапазон использования схем соединения резисторов, катушек и конденсаторов, как для цепей постоянного тока, так и для цепей переменного тока.

Правильность всех расчётов проверяется составлением баланса мощностей, что подтверждает положение о сохранении энергии.

Построение векторных и типографических диаграмм для цепей переменного тока даёт чёткое представление о синусоидально изменяющихся напряжениях и токах, характеризующихся не только амплитудной (действующими значениями), но и начальной фазой, это позволяет наглядно проверить правильность расчёта тока в цепи.

Задание

Для электрической цепи переменного синусоидального тока необходимо выполнить следующие расчеты и графические построения:

1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в интегрально-дифференциальном виде для мгновенных значений напряжений и токов.

2. Выполнить расчет токов в электрической цепи с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности.

3. Определить режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи.

4. Рассчитать ток в указанной ветви или напряжение холостого хода между заданными узлами методом эквивалентного генератора (МЭГ).

5. Для заданного напряжения u(t) построить график мгновенных значений.

6. Рассчитать показания ваттметра, включенного в одну из ветвей электрической цепи.

7. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для ветви, в которой включен ваттметр.

Рис.1. Заданная схема цепи синусоидального тока

Исходные данные для расчета цепи.

1. Система уравнений по законам Кирхгофа

В соответствии с заданными параметрами сопротивлений, составляем расчетную схему цепи. На этой схеме обозначаем и задаем направления для токов в ветвях цепи.

Рис.2. Расчетная схема цепи синусоидального тока.

Рассматриваемая схема содержит n=6 неизвестных токов () и m=4 узла. Поэтому, составляем k=m-1=3 уравнения по 1-му закону Кирхгофа и p=n-k=3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа.

С учетом того, что

Система уравнений принимает вид:

2.1. Расчет токов в электрической цепи

Расчет токов производим используя метод узловых потенциалов с помощью комплексных чисел.

Принимаем потенциал узла 1 . Тогда, потенциал узла 4 составит:

Для определения потенциалов узлов 2 и 3 составляем систему уравнений:

Рассчитываем:

Систему уравнений решаем по методу Крамера:

Таким образом, определены потенциалы всех узлов заданной цепи:

При известных потенциалах всех точек цепи определяем комплексные значения токов:

Таким образом, определены комплексные значения всех неизвестных токов в цепи.

2.2. Баланс мощностей

Для проверки правильности расчета токов в цепи составляем баланс мощностей.

Рассчитываем мощности всех активных элементов цепи.

Источники ЭДС:

Для расчета мощностей источника тока рассчитываем вначале напряжение на источнике тока, а затем определяем его полную мощность.

Суммарная мощность источников:

Таким образом, получено:

Суммарная активная мощность источников:

Суммарная реактивная мощность источников:

Рассчитываем мощности в нагрузках:

Таким образом, получено:

Суммарная активная мощность нагрузок:

Суммарная реактивная мощность нагрузок:

- баланс мощностей сходится.

3. Определение режима работы источников

Режим работы источников определяем по знаку его активной мощности.

Соответственно, положительный знак мощности Р указывает на то, что источники работают в режиме генератора мощности.

Отрицательный знак мощности Р указывает на то, что источники работает в режиме потребителя мощности.

4. Расчет методом эквивалентного генератора

В соответствии с заданием рассчитываем напряжение холостого хода между узлами 2 и 3.

Расчетная схема имеет вид. То есть в этом случае размыкаем все ветви, которые находятся между указанными узлами.

Рис.3. Схема для расчета напряжения холостого хода

Расчет напряжения холостого хода между заданными узлами 2 и 3 производим методом узловых потенциалов.

Для полученной схемы составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов для расчета потенциалов узлов 2 и 3.

Для определения потенциалов узлов 2 и 3 составляем систему уравнений:

Систему уравнений решаем по методу Крамера:

5. Построение графика мгновенного значения напряжения

В соответствии с заданием необходимо построить график мгновенного значения напряжения между узлами 2 и 3 в режиме холостого хода для этих узлов. При расчетах получен комплекс действующего значения

Соответственно, выражение для мгновенного значения этого напряжения имеет вид:

По этому выражению строим график мгновенного значения напряжения в функции времени.

Рис.4. График изменения мгновенного значения напряжения холостого хода между узлами 2 и 3.

6. Расчет показаний ваттметра

Ваттметр включаем в ветвь между узлами 1 и 2.

Рис.5. Схема включения ваттметра в цепь

Из расчетов, проведенных для нормального режима работы цепи определяем:

Напряжение ваттметра:

Ток ваттметра:

Показание ваттметра:

7. Построение векторной диаграммы

Построим векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений для ветви, в которую включен ваттметр.

Рис.6. Векторная диаграмма тока и напряжений ветви, в которую включен ваттметр.

Заключение

В представленной курсовой работе был произведен анализ и расчет сложной цепи переменного тока, содержащей несколько источников ЭДС и источников тока. В процессе работы в соответствии с заданием была составлена система уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной форме. Далее с помощью комплексных чисел были найдены комплексные значения всех неизвестных токов в цепи. Расчет был произведен по методу узловых потенциалов. Для проверки правильности расчета токов был составлен баланс мощностей. В результате составления баланса мощностей было определено, что суммарная мощность источников (активных элементов) равна суммарной мощности в нагрузках цепи. Соответственно, баланс активных и реактивных мощностей в цепи сошелся, соответственно, значения токов в цепи были найдены правильно.

При расчете баланса мощностей было определено, что одни активные элементы имеют положительное значение активной мощности, а другие имеют отрицательное значение активной мощности. Соответственно, были сделаны выводы о режиме работы реактивных элементов в цепи.

Используя метод эквивалентного генератора было найдено напряжение холостого хода между заданными узлами цепи.

Была построена временная диаграмма для мгновенного значения напряжения холостого хода в заданной ветви цепи, рассчитано показание ваттметра и построена векторная диаграмма напряжений и тока для ветви, в которую по заданию был включен ваттметр.

Таким образом, выполнение заданной курсовой работы позволило овладеть основными навыками расчета сложной цепи переменного тока, навыками построения временных и векторных диаграмм.

Список использованной литературы

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи: Учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов.–7-е изд., перераб. и доп.– М.: Высш. школа, 2008. – 528 с.

2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. В 2-х т.: Учебник для вузов. Том 1. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергоиздат, 2007. – 536 с.

3. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 2007. – 528 с.

4. Теоретические основы электротехники. В 3-х ч. – Ч. I. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи: Учебник для вузов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Энергия, 2008. – 592 с.