В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется: а) записа

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16379
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется: а) записать значения результатов экспериментов в виде вариационного ряда; б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов; в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения; г) найти числовые характеристики выборки 𝑥̅‚ 𝐷в ; д) приняв в качестве нулевой гипотезу 𝐻0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 𝛼 = 0,025; е) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности 𝛾 = 0,9.

Решение а) Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:

б) Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, задано в условии: 𝑁 = 9. Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Относительные частоты 𝑤 ∗ определим по формуле: Результаты вычислений запишем в таблицу: Границы интервалов  Середина интервала Частота интервала 𝑛𝑖 Относительная частота 𝑊𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 Плотность частоты ) Построим полигон частот, гистограмму относительных частот и приближенный график эмпирической функции распределения. Рис. 1. Полигон частот Рис. 2. Гистограмма относительных частот Находим значения эмпирической функции распределения в граничных точках частичных интервалов Приближенный график эмпирической функции распределения г) Найдем числовые характеристики выборки 𝑥̅‚ 𝐷в . Найдем числовые характеристики выборки: выборочную среднюю 𝑥̅, выборочную дисперсию 𝐷в , исправленную дисперсию 𝑆 2 , исправленное среднее квадратичное отклонение 𝑆. 𝑚𝑖 Границы интервалов Середина интервала Частота интервала  Сумма  д) Приняв в качестве нулевой гипотезу 𝐻0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверим ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 𝛼 = 0,025. Найдем вероятности попадания случайной величины в каждый интервал по формуле:  Теоретические частоты определим по формуле 𝑖 Вычислим значения  Результаты запишем в таблицу: Интервал  Контроль: Значит, вычисления произведены правильно. Число степеней свободы 𝑣 = 9 − 3 = 6. При уровне значимости  по таблице значений критерия Пирсона находим  Так как то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости. е) Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности 𝛾 = 0,9. Доверительный интервал для математического ожидания 𝑎 нормально распределенной случайной величины равен:  где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем  и искомый доверительный интервал имеет вид: 1 Доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонения 𝜎 имеет вид: если  Для надежности  получаем