В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется: а) за

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16379
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется: а) записать значения результатов экспериментов в виде вариационного ряда; б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов; в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения; г) найти числовые характеристики выборки 𝑥̅‚ 𝐷в ; д) приняв в качестве нулевой гипотезу 𝐻0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 𝛼 = 0,025; е) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности 𝛾 = 0,95.

Решение

а) Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: 1 Найдем размах выборкиЧисло интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, задано в условии: 𝑁 = 9. Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле: Подсчитаем частоту каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Относительные частоты 𝑤 ∗ определим по формуле:  Результаты вычислений запишем в таблицу: Границы интервалов 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 Середина интервала Частота интервала 𝑛𝑖 Относительная частота  Плотность частоты  Построим полигон частот, гистограмму относительных частот и приближенный график эмпирической функции распределения. Рис. 1. Полигон частот Рис. 2. Гистограмма относительных частот Находим значения эмпирической функции распределения в граничных точках частичных интервалов  Приближенный график эмпирической функции распределения г) Найдем числовые характеристики выборки 𝑥̅‚ 𝐷в . Найдем числовые характеристики выборки: выборочную среднюю 𝑥̅, выборочную дисперсию 𝐷в , исправленную дисперсию 𝑆 2 , исправленное среднее квадратичное отклонение 𝑆. 𝑚𝑖 Границы интервалов Середина интервала 𝑥 Частота интервала 𝑛Сумма 1 Приняв в качестве нулевой гипотезу 𝐻0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверим ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости 𝛼 = 0,025. Найдем вероятности попадания случайной величины в каждый интервал по формуле: ( Теоретические частоты определим по формуле 𝑖 Вычислим значения (𝑛𝑖 − 𝑛𝑖 ′ ) 2 𝑛𝑖 ′ Результаты запишем в таблицу: Интервал  Получили 𝜒2 Значит, вычисления произведены правильно. Число степеней свободы При уровне значимости 𝛼 = 0,025 по таблице значений критерия Пирсона находим  то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости. е) Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности 𝛾 = 0,95. Доверительный интервал для математического ожидания 𝑎 нормально распределенной случайной величины равен:  где 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем 𝑡 = 1,96, и искомый доверительный интервал имеет вид:  Доверительный интервал, покрывающий неизвестное среднее квадратическое отклонения 𝜎 имеет вид: , если 𝑞 < 1 Для надежности  получаем . Тогда