Два студента договорились встретиться в институте в течение часа. Время ожидания одного другим 15 минут.

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Два студента договорились встретиться в институте в течение часа. Время ожидания одного другим 15 минут. Определить вероятность встречи.

Решение

Обозначим момент прихода на встречу первого человека через 𝑥, второго человека через 𝑦. Они могут встретиться по условию в течение часа. Пусть  В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: < 60. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑇. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов встречи людей. Так как пришедший первым первый человек ждет в течение 15 минут, после чего уходит, то  Так как приехавший первым второй человек ждет в течение 15 минут, после чего уходит, то  Они встретятся, если:  15 при при (2) Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры 𝐺, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой 𝑦 неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой и выше прямой. Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени 𝑥 и 𝑦, когда двое встретятся. Вероятность события 𝐴 – встреча произойдет, равна отношению площадей заштрихованной области к площади квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади квадрата 𝐺 со стороной 60 и площадями двух прямоугольных треугольников со сторонами 45 и 45.

Ответ: