Настя и Антон случайным образом приходят на вечеринку с 19:00 до 22:00, при этом каждый из них проводит там 30 минут. Найти вероятность

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Настя и Антон случайным образом приходят на вечеринку с 19:00 до 22:00, при этом каждый из них проводит там 30 минут. Найти вероятность того, что Настя придет до 20:30, и они с Антоном встретятся.

Решение

Обозначим момент прихода на встречу первого человека через 𝑥, второго студена через 𝑦. Они могут встретиться в течение 3 часов. Пусть 𝑇 = 3. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства: 

Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑇. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов встречи Насти и Антона. Так как пришедший первым первый человек ждет второго в течение 30 минут (полчаса), после чего уходит, то Так как пришедший первым второй человек ждет первого в течение 30 минут, после чего уходит, то

Они встретятся, 

откуда: 

Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры 𝐺, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой  неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой .

Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени 𝑥 и 𝑦, когда люди могут встретиться.

Основное событие 𝐴 – Настя придет до 20:30, и они с Антоном встретятся. Отметим на рисунке время прихода одного из людей до 20.30:

Вероятность события 𝐴 равна отношению площадей заштрихованной области к площади прямоугольника. Площадь заштрихованной красным области определим как разность площади прямоугольника со сторонами 1,5 и 3 и площади прямоугольного треугольника со сторонами 2,5 (учитывая, что закрашенные зеленым прямоугольные треугольники равны).

Ответ: