Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме в положительном направлении оси Oz. Вектор плотности потока электромагнитной энергии S имеет вид

		Физика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16684
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме в положительном направлении оси Oz. Вектор плотности потока электромагнитной энергии S имеет вид: 𝑆̅(𝑧,𝑡) = 𝑆𝑚 ̅̅̅̅ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔𝑡 − 𝑘𝑧). Считая волновое число k и амплитудное значение 𝑆𝑚 вектора известными действительными величинами, что допустимо для однородной изотропной среды без эффектов поглощения, найти: 1) вектор напряжённости электрического поля E этой волны как функцию времени t и координат точки наблюдения; 2) вектор напряжённости магнитного поля H этой волны как функцию времени t и координат точки наблюдения; 3) объёмную плотность энергии w; 4) средний вектор Пойнтинга 〈𝑆⃗〉 5) среднее значение 〈𝑆〉плотности потока энергии, переносимой этой волной; 6) вектор плотности тока смещения 𝑗см 7) среднее за период колебаний значение модуля плотности тока смещения < |𝑗см| > 8) величину импульса K ед (в единице объёма). 9) записать волновое уравнение для магнитной и электрической компонент рассматриваемой электромагнитной волны и изобразить схематично мгновенную фотографию этой волны. 𝑆𝑚 = 113.9 Дж с∗м2 𝑘 = 0.5 м −1

Решение: 1. Так как по условию волна распространяется по оси , а тройки векторов  и  являются правыми. То векторы  и  сонаправлены ; положительное направление оси  направим вдоль вектора , а оси  вдоль вектора  Представим векторы напряжённости электрического поля и магнитного поля  плоской гармонической электромагнитной волной в комплексной форме: где  и  амплитудные колебания. Представим скалярное произведение волнового вектора  и радиусвектора точки наблюдения в координатной форме, учитывая, что эти векторы направлены вдоль оси  Подставим полученное в (1):  (2) Из уравнения Максвелла в дифференциальной форме, связывающее между собой изменение в пространстве и во времени электрического и магнитного полей (выражение закона электромагнитной индукции Фарадея) и условий распространения волны в вакууме получаем:  (3) В нашем случае , следовательно:  – представление ротора векторного поля  в декартовых координатах с помощью символического определителя третьего порядка; - единичный орты осей  декартовой системы координат.  Подставим полученное в (3):  (4) Из (2) и (4) получим:  (5) Между волновым числом  и круговой частотой  справедливы соотношения:  , где  - скорость света в вакууме тогда  Подставим полученное в (5):  (6) Из условия задачи, нам известно, что , а так же мы знаем, что . Используя (2) и (6) и то, что Из вида последнего равенства можно предположить, что , т.к. это равенство должно быть равно при любом значении фазы колебаний, то обе части можно сократить на косинус в квадрате.  (7) Вектор  направлен вдоль оси , следовательно, получаем: (8) Подставляя известные величины: . Найдём , воспользовавшись (2), (6) и (7):  направлен вдоль оси Ox, следовательно:  (9) Подставляя известные значения: . Найдём объёмную плотность энергии электромагнитного поля  Объёмная плотность энергии электромагнитного поля  может быть рассчитана по следующей зависимости:  (10) где первое слагаемое  представляет собой объёмную плотность энергии электрического поля, а второе  объёмную плотность энергии магнитного поля. (11) Подставляя известные значения:. Найдём средний за период колебаний вектор Пойнтинга плоской гармонической электромагнитной волны.  т.к.  Последний интеграл распадается на два интеграла, причём первый равен , а второй обращается в 0, т.к.  Следовательно (учитывая, что   (13) Подставляя известные значения: . Найдём среднее значение плотности потока энергии, переносимой рассматриваемой волной. Среднее за период колебаний значение плотности потока энергии:  где – модуль вектора Пойтинга  Подставляя известные величины: 6. Найдём вектор плотности тока смещения  (15) где  - вектор электрического смещения. В соответствии с материальными уравнениями , а в рассматриваемой задаче электромагнитная волна распространяется в вакууме, поэтому , тогда (16)  (17) Подставляя известные величины, учтем что . Найдём среднее за период колебаний значение модуля плотности тока смещения  (18) Подставляя известное: . Определим модуль импульса Кед электромагнитной волны: Плоская электромагнитная волна с объёмной плотностью энергии 𝜔 имеет в единице объёма отличный от нуля импульс. Соотношение между плотностью потока энергии и импульсом в единице объёма электромагнитной волны в векторной форме имеет вид:  (19) Модуль этой величины можно рассчитать по следующей зависимости: (20) Используя (11) получим:  (21) Подставляя известное:   9. Запишем волновое уравнение для магнитной и электрической компонент рассматриваемой волны и изобразим схематически мгновенную фотографию этой волны. В общем виде: где  В нашем случае:  (8) и (9) этим условиям удовлетворяют:  Чтобы изобразить мгновенную фотографию волны, зафиксируем какой-нибудь момент времени, пусть