Случайная величина 𝑋 задана функцией распределения 𝐹(𝑥). Найти плотность распределения вероятностей 𝑓(𝑥) и числовые характеристики

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16309
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Случайная величина 𝑋 задана функцией распределения 𝐹(𝑥). Найти плотность распределения вероятностей 𝑓(𝑥) и числовые характеристики 𝑀(𝑋), 𝐷(𝑋) и 𝜎(𝑋). Построить графики функций 𝑓(𝑥) и 𝐹(𝑥). Случайная величина 𝑋 задана интегральной функцией (функцией распределения) 𝐹(𝑥). Требуется: а) убедиться, что заданная функция 𝐹(𝑥) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства 𝐹(𝑥). В случае положительного ответа найти: б) дифференциальную функцию (плотность распределения) 𝑓(𝑥); в) математическое ожидание случайной величины 𝑋; г) дисперсию случайной величины 𝑋; д) среднее квадратическое отклонение; е) построить графики интегральной и дифференциальной функций (𝐹(𝑥) и 𝑓(𝑥) соответственно); ж) определить вероятность попадания величины 𝑋 в интервал (𝛼; 𝛽) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции), а затем проиллюстрировать этот результат на графиках 𝐹(𝑥) и 𝑓(𝑥). 

Решение

а) убедимся, что заданная функция 𝐹(𝑥) является функцией распределения некоторой случайной величины, проверив свойства 𝐹(𝑥). Основные свойства функции распределения: Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: По заданному уравнению функции 𝐹(𝑥) это свойство выполняется. Свойство 2. Если то есть 𝐹(𝑥) – неубывающая функция своего аргумента. На заданной области определения [0; 1 3 ] функция задана уравнением которая возрастает при всех Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [𝑎; 𝑏] то: l) В общем случае: Для заданной функции это условие выполняется, поскольку при имеем , а при  имеем Свойство 4. Функция распределения в любой точке непрерывна слева: Заданная функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки разрыва только в точках В точке В точке Сама функция на заданной области определения [0; 1 3 ] в любой точке непрерывна слева: б) найдем дифференциальную функцию (плотность распределения) в) найдем математическое ожидание случайной величины 𝑋. г) найдем дисперсию случайной величины 𝑋. Дисперсия 𝐷(𝑋) равна: д) найдем среднее квадратическое отклонение. е) построим графики интегральной и дифференциальной функций (𝐹(𝑥) и 𝑓(𝑥) соответственно). ж) определим вероятность попадания величины 𝑋 в интервал (𝛼; 𝛽) двумя способами (используя интегральную и дифференциальную функции). Вероятность попадания случайной величины в интервал (−2; 1 6 ) равна приращению функции распределения на этом интервале: Вероятность попадания случайной величины в интервал (−2; 1 6 ) равна площадь, ограниченной графиком функции плотности распределения на этом интервале: проиллюстрируем этот результат на графиках 𝐹(𝑥) и 𝑓(𝑥).