Дана выборка, соответствующая случайной величине 𝑋 с функцией распределения 𝐹(𝑥) Найти: 1) Эмпирическую функцию

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16379
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Дана выборка, соответствующая случайной величине 𝑋 с функцией распределения 𝐹(𝑥)

Найти: 1) Эмпирическую функцию распределения. 2) Оценить математическое ожидание 𝑀(𝑋), дисперсию 𝐷(𝑋), найти вероятность 𝑝 = 𝑃(𝑥 < 0,5). 3) С доверительной вероятностью 0,95 оценить математическое ожидание, с доверительной вероятностью 0,9 оценить дисперсию. 4) Проверить гипотезу 𝐻0 = (𝑀𝑋 = 0,5), конкурирующая гипотеза 𝐻1 = (𝑀𝑋 ≠ 0,5), доверительная вероятность 𝛼 = 0,01.

Решение

1) Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Построим статистический ряд распределения: 𝑥 значение случайной величины; 𝑛𝑖 − число соответствующих значений в выборке. Общее число значений  Частоты 𝑤𝑖 определим по формуле:  Эмпирическая функция распределения  Выборочное среднее (математическое ожидание 𝑀(𝑋)) вычисляется по формуле:  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле:  Найти вероятность Исправленная дисперсия равна:  Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:  Доверительный интервал для математического ожидания 𝑎 случайной величины равен:  По таблице значений 𝑡𝛾,𝑛 находим:  Тогда доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания 𝑎 с надежностью  имеет вид:Для определения доверительного интервала для дисперсии (число степеней свободы равно, доверительная вероятность ), конкурирующая гипотеза , доверительная вероятность 𝛼 = 0,01. Для проверки нулевой гипотезы применим статистику: При уровне значимости 𝛼 = 0,01 и числу степеней свободы  по таблице критических точек распределения Стьюдента находим:  , то нулевую гипотезу принимаем.