Дана выборка, соответствующая случайной величине 𝑋 с функцией распределения 𝐹(𝑥):

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16379
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Дана выборка, соответствующая случайной величине 𝑋 с функцией распределения 𝐹(𝑥):

Найти: 1) Эмпирическую функцию распределения. 2) Оценить математическое ожидание 𝑀(𝑋), дисперсию 𝐷(𝑋), найти вероятность 𝑝 = 𝑃(𝑥 < 0,5). 3) С доверительной вероятностью 0,95 оценить математическое ожидание, с доверительной вероятностью 0,9 оценить дисперсию. 4) Проверить гипотезу 𝐻0 = (𝑀𝑋 = 0,5), конкурирующая гипотеза 𝐻1 = (𝑀𝑋 ≠ 0,5), доверительная вероятность 𝛼 = 0,01.

Решение

1) Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания: Построим статистический ряд распределения: значение случайной величины; 𝑛𝑖 − число соответствующих значений в выборке. Общее число значений  Частоты 𝑤𝑖 определим по формуле Эмпирическая функция распределения Выборочное среднее (математическое ожидание 𝑀(𝑋)) вычисляется по формуле:  Выборочная дисперсия вычисляется по формуле: Найти вероятность ) Исправленная дисперсия равна:  Исправленное среднее квадратическое отклонение равно: Доверительный интервал для математического ожидания 𝑎 случайной величины равен:  По таблице значений 𝑡𝛾,𝑛 находим: Тогда доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания 𝑎 с надежностью 𝛾 = 0,95 имеет вид:  Для определения доверительного интервала для дисперсии (число степеней свободы равно, доверительная вероятность 𝛾 = 0,9) определим по распределению хи-квадрат квантили:  Проверим гипотезу , конкурирующая гипотеза  доверительная вероятность 𝛼. Для проверки нулевой гипотезы применим статистику: При уровне значимости 1 и числу степеней свободы по таблице критических точек распределения Стьюдента находим: Так как  то нулевую гипотезу принимаем.