На отрезке АВ длиной 𝑙 поставили наугад две точки L и M. Найти вероятность того, что L будет ближе к т. М, чем к А.

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На отрезке АВ длиной 𝑙 поставили наугад две точки L и M. Найти вероятность того, что L будет ближе к т. М, чем к А.

Решение

Обозначим расстояние от точки A до точки L через 𝑥, расстояние от точки А до точки M через 𝑦. Пусть точка А лежит в начале координат, тогда в силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства:Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑙. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения координат точек L и M. Расстояние от точки L до точки A всегда равно: 𝐴𝐿 = 𝑥 Расстояние от точки L до точки M равно: будет ближе к т. М, чем к А, если(2) Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямойи ниже прямой Неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой 𝑦 = 0. Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованной трапеции. Таким образом, эту трапецию можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими условиями события 𝐴. Вероятность события 𝐴 – L будет ближе к т. М, чем к А, равна отношению площадей заштрихованной области к площади квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади квадрата 𝐺 со стороной 𝑙 и площади прямоугольного треугольника со сторонами Ответ: