Два друга договорились встретиться в условленном месте между 10 и 11 часами, причем пришедший первым ждет

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Два друга договорились встретиться в условленном месте между 10 и 11 часами, причем пришедший первым ждет другого 20 минут, а затем уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого их них в течение назначенного часа случаен?

Решение

Обозначим момент прихода на встречу первого друга через 𝑥, второго друга через 𝑦. Они могут встретиться в течение часа. Пусть 𝑇 = 60. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат 𝑂𝑥𝑦. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑇. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру 𝐺, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов встречи друзей. Так как пришедший первым первый друг ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит, то  Так как пришедший первым второй друг ждет первого в течение 20 минут, после чего уходит, то Они встретятся, если:  Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры 𝐺, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой  неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой  Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру 𝑔, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени 𝑥 и 𝑦, когда друзья могут встретиться. Искомая вероятность события 𝐴 – встреча состоится, равна отношению площадей заштрихованной области к площади квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади квадрата 𝐺 со стороной 60 и площадями двух прямоугольных треугольников со сторонами 40. 

Ответ: