Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2𝑎. На плоскость наудачу бросают иглу длины Найти

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2𝑎. На плоскость наудачу бросают иглу длины Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Середина иглы может упасть в любую точку разграфленной плоскости с равновозможной вероятностью.

Решение

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника  Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству:  Учитывая, что по условию 𝑙 > 𝑎, найдем такие значения угла 𝜑, при которых игла всегда будет пересекать какую-то прямую: Изобразим на рисунке область 𝐴, точки которой удовлетворяют всем заданным неравенствам. Ввиду симметрии полученной фигуры и прямоугольной области относительно вертикальной прямой  далее будем рассматривать область . По геометрическому определению вероятности, вероятность события 𝐴 равна отношению площади заштрихованной области в площади всего прямоугольника:  По свойствам определенного интеграла: Тогда вероятность события 𝐴 равна: