Задана плотность распределения вероятностей 𝑓(𝑥) непрерывной случайной величины 𝜉. Определить постоянную величину 𝑎. Найти функцию

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16328
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Задана плотность распределения вероятностей 𝑓(𝑥) непрерывной случайной величины 𝜉. Определить постоянную величину 𝑎. Найти функцию распределения 𝐹(𝑥) случайной величины 𝜉. Построить график функции распределения и плотности распределения вероятностей случайной величины 𝜉. Вычислить математическое ожидание 𝑀(𝜉), моду 𝑀𝑜(𝜉), медиану 𝑀𝑒(𝜉), дисперсию 𝐷(𝜉) и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Найти вероятность того, что в результате, по крайней мере, в одном из трех независимых испытаний случайная величина 𝜉 примет значение не менее 𝛼, но не более 𝛽. 

Решение

Значение постоянной величины 𝑎 находим из условия: Тогда Откуда Тогда заданная функция плотности распределения вероятностей случайной величины 𝑋 имеет вид: , если , если  По свойствам функции распределения: При При При Тогда функция распределения 𝐹(𝑥) имеем вид: если если если Построим график функции распределения 𝐹(𝑥) и плотности распределения вероятностей 𝑓(𝑥) случайной величины 𝜉. Найдем отдельно два неопределенных интеграла по формуле интегрирования по частям: Математическое ожидание: Модой непрерывного распределения является такое значение 𝑥, которое соответствует максимуму функции плотности распределения. Поскольку функция плотности вероятности 𝑓(𝑥) максимальна при , то мода . Медиана – решение уравнения . Тогда Дисперсия 𝐷(𝜉) равна: Среднее квадратическое отклонение 𝜎𝜉 равно:  Вероятность того что в результате одного испытания случайная величина 𝜉 примет значение не менее 0, но не более 1 равна приращению функции распределения на этом интервале:  Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна , то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где  — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая ; . Вероятность события 𝐴 – в результате, по крайней мере, в одном из трех независимых испытаний случайная величина 𝜉 примет значение не менее 0, но не более 1, равна: