Заданы математическое ожидание 𝑎 = 10 и среднее квадратическое отклонение 𝜎 = 5 нормально распределенной непрерывной СВ. Найти: 1) вероятность

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16360
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Заданы математическое ожидание 𝑎 = 10 и среднее квадратическое отклонение 𝜎 = 5 нормально распределенной непрерывной СВ. Найти: 1) вероятность 𝑃(11 < 𝑥 < 13); 2) вероятность 𝑃(|𝑥 − 10| < 2,5); 3) симметричный относительно 𝑎 интервал, в который попадает величина 𝑋 с вероятностью 𝛾 = 0,9786; 4) интервал, в котором практически окажутся все значения величины 𝑋. Дайте графические пояснения ответов на кривой нормального распределения.

Решение

Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал равна:  где Ф(𝑥) – функция Лапласа, 𝑎 − математическое ожидание; σ − среднее квадратическое отклонение. При получим: Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎 меньше любого положительного 𝜀, равна  где Ф(𝑥) – функция Лапласа. По условию  тогда:  3) Вероятность того, что модуль отклонения нормально распределенной случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎 меньше любого положительного 𝜀, равна  По условию, тогда По таблице функции Лапласа находим:  тогда:  Тогда интервал, симметричный относительно математического ожидания: 4) По правилу “трех сигм” вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую, чем утроенное среднее квадратическое отклонение, практически равна нулю.  Дадим графические пояснения ответов на кривой нормального распределения. Плотность распределения вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид  При  получим  Вероятность попадания случайной величины 𝑋 в интервал 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 геометрически равна площади 𝑆 криволинейной трапеции, построенной на интервале (a;b) оси абсцисс и ограниченной сверху кривой 𝑓(𝑥).