На заводе средний размер детали оказался 40,8 мм, а среднее квадратическое отклонение 0,6 мм. Считая, что размер детали подчиняется нормальному закону

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16373
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

На заводе средний размер детали оказался 40,8 мм, а среднее квадратическое отклонение 0,6 мм. Считая, что размер детали подчиняется нормальному закону распределения случайной величины, требуется: 1) найти дифференциальную функцию распределения случайной величины. 2) Найти значения 𝑓(𝑥) в точках 𝑥1 = 39; 𝑥2 = 39,6; 𝑥3 = 40,2; 𝑥4 = 40,8; 𝑥5 = 41,4; 𝑥6 = 42. Построить график плотности распределения вероятностей. 3) Размер детали задан полем допуска 40-42 мм. Определить вероятность брака по заниженному размеру. 4) Какое предельное отклонение размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,99. 5) Найти диапазон изменения данной случайной величины.

Решение

1) Плотность распределения вероятности (дифференциальная функция распределения) нормально распределенной случайной величины имеет вид: 𝑓− математическое ожидание; σ − среднее квадратическое отклонение. При  получим: 2) Найдем значения 𝑓(𝑥) в точках  Построим график плотности распределения вероятностей. 3) Размер детали задан полем допуска 40-42 мм. Определим вероятность брака по заниженному размеру. Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал равна:  – функция Лапласа, 𝑎 − математическое ожидание; σ − среднее квадратическое отклонение. При 4) Определим, какое предельное отклонение размера детали 𝜀 можно гарантировать с вероятностью 0,99. Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎 меньше любого положительного 𝜀, равна  По условию  По таблице функции Лапласа находим:  Тогда 𝜀 5) Найдем диапазон изменения данной случайной величины. По правилу “трех сигм” вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, большую, чем утроенное среднее квадратическое отклонение, практически равна нулю. По условию математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение Тогда  Тогда практически достоверный интервал изменения 𝑋: