При исследовании эффективности работы системы массового обслуживания были зафиксированы интервалы времени обслуживания 60 заявок: 0,5 0,6 1,4 0,8 1,0 1,8 0,2 0,4 0,1 0,3 1,1 0,9

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16412
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

При исследовании эффективности работы системы массового обслуживания были зафиксированы интервалы времени обслуживания 60 заявок: 0,5 0,6 1,4 0,8 1,0 1,8 0,2 0,4 0,1 0,3 1,1 0,9 0,7 0,2 1,2 0,1 0,6 0,4 0,8 1,2 0,3 1,7 0,2 1,6 0,5 0,2 0,1 1,5 1,0 0,9 1,3 0,4 1,6 0,3 0,1 0,6 1,5 0,1 0,5 0,8 1,1 0,7 1,1 0,6 0,5 0,7 0,4 1,4 0,6 0,5 1,3 0,3 1,2 0,2 1,0 0,1 0,8 0,4 0,6 0,1

Решение 1

Составить интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения вероятностей. 2. Определить моду и медиану. 3. Построить доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины с доверительной вероятностью 0,92, если среднее квадратическое отклонение 𝜎𝑥 = 0,036. 4. Сколько раз нужно было измерить эту постоянную величину, чтобы с вероятностью не меньшей чем 0,96 можно было утверждать, что эмпирическое математическое ожидание отклоняется от истинного математического ожидания на величину не большую, чем 0,1? 5. Пусть средняя квадратическая ошибка является неизвестной. Требуется построить доверительный интервал для измеряемой величины при уровне значимости 0,02.

Решение 2

Построим вариационный ряд – выборку в порядке возрастания:  Найдем размах выборки  Число интервалов 𝑁, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджесса:  где n − объём выборки, то есть число единиц наблюдения. В данном случае. Получим:  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле: Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем . За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В данном случае за нижнюю границу интервала возьмём 0,05. Подсчитаем частоту 𝑛𝑖 каждого интервала, то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в левый интервал. Относительные частоты (частости) 𝑓𝑖 определим по формуле: 𝑓𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 Составим интервальный статистический ряд: Номер интервала Интервал Середина интервала Частота 𝑛𝑖 Относительная частота  Построим гистограмму относительных частот. Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом. Для интервального ряда (с равными интервалами) мода определяется по следующей формуле:  нижнее значение модального интервала;  частота в модальном интервале;  частота в предыдущем интервале;  частота в следующем интервале за модальным; ℎ – размах интервала. Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т.е. в данном случае . Тогда Медианой в статистике называют варианту, расположенную в середине вариационного ряда. Для интервального ряда медиану определяют по формуле:  нижняя граница интервала, в котором находится медиана; ℎ – размах интервала; накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; 𝑓𝑀𝑒 – частота в медианном интервале. Медианный интервал – это тот, на который приходится середина ранжированного ряда, т.е. в данном случае 3. Выборочное среднее значение 𝑥̅в равно:  Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины равен:  такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем, и искомый доверительный интервал имеет вид: 4. По условию отклонение 𝑡𝜎𝑥 √𝑛 не должно превышать 0,1, с вероятностью не меньшей чем 0,96. При этом 𝑡 – такое значение аргумента функции Лапласа, при котором . По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Полученное значение даже не превосходит единицы, что говорит об неудачно подобранном значении 0,1 (оно слишком велико, найденный интервал для вероятности 0,92 описывается границами ±0,008). 5. Пусть средняя квадратическая ошибка прибора является неизвестной. Выборочная дисперсия равна: Несмещенная (исправленная) оценка генеральной дисперсии  Доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины равен:  такое значение аргумента функции Лапласа, при котором. По таблице функции Лапласа находим 𝑡 из равенства:  Получаем, и искомый доверительный интервал имеет вид: