1. Доказать, что для функции 𝐹(𝑥) выполняется все свойства функции распределения; построить график

		Математический анализ
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16310
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

1. Доказать, что для функции 𝐹(𝑥) выполняется все свойства функции распределения; построить график 𝐹(𝑥). 2. Найти плотность распределения. 3. Найти вероятность попадания значений случайной величины в промежуток [𝑎; 𝑏) 𝐹(𝑥) = { 0 при 𝑥 < 2 𝑙𝑛 𝑥 2 при 2 ≤ 𝑥 < 2𝑒 1 при 𝑥 ≥ 2𝑒 𝑎 = 2, 𝑏 = 𝑒 Для случайной величины Х, определенной функцией распределения 𝐹(𝑥), найти: 1) математическое ожидание 𝑀(𝑋) 2) дисперсию 𝐷(𝑋) и среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) 3) моду 𝑀𝑜(𝑋) 4) медиану 𝑀𝑒(𝑋)

Решение

1. Докажем, что для функции 𝐹(𝑥) выполняется все свойства функции распределения; построим график 𝐹(𝑥). Основные свойства функции распределения: Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку По заданному уравнению функции 𝐹(𝑥) это свойство выполняется. Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е., если  На заданной области определения [2; 2𝑒] функция задана уравнением  которая возрастает при всех 𝑥 ∈ (0; +∞) Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b) то: l) F(x) = 0 при 2) F(x) = b при В общем случае: { 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝐹(𝑥) = 0 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝐹(𝑥) = 1 Для заданной функции 𝐹(𝑥) = { 0 при  при 2 ≤ 𝑥 < 2𝑒 1 при 𝑥 ≥ 2𝑒 это условие выполняется, поскольку при 𝑥 < 2 имеем 𝐹(𝑥) = 0, а при 𝑥 ≥ 2𝑒 имеем 𝐹(𝑥) = 1. Свойство 4. Функция распределения в любой точке непрерывна слева: 𝐹(𝑥0 − 0) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑥0−0 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥0 ) Заданная функция определена на каждом из промежутков и может иметь точки разрыва только в точках В точке В точке 𝑥2 = 2𝑒:  Сама функция 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 2 на заданной области определения [2; 2𝑒] в любой точке непрерывна слева по свойствам логарифма:  По заданному уравнению функции 𝐹(𝑥) это свойство выполняется (его проиллюстрируем графически при построении графика функции распределения). 2. Найдем плотность распределения. Плотность распределения вероятности (дифференциальную функцию распределения) найдем по формуле 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥) = { 0 при 𝑥 < 2 1 𝑥 при 2 ≤ 𝑥 < 2𝑒 0 при 𝑥 ≥ 2𝑒 3. Найдем вероятность попадания значений случайной величины в промежуток [𝑎; 𝑏) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:  Вероятность попадания случайной величины в интервал [2; 𝑒): 1) Математическое ожидание случайной величины Х равно: Дисперсия  Среднее квадратическое отклонение 𝜎(𝑋) равно  Модой 𝑀𝑜(𝑋) непрерывной случайной величины называется ее значение, при котором плотность вероятности максимальна. Плотность вероятности 𝑓(𝑥) = { 0 при 𝑥 < 2 1 𝑥 при 2 ≤ 𝑥 < 2𝑒 0 при 𝑥 ≥ 2𝑒 максимальна, при 𝑥 = 2. Тогда 𝑀𝑜(𝑋) = 2 4) Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение 𝑀𝑒(𝑋), для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше  Из уравнения 𝐹(𝑀𝑒(𝑋)) = 1 2 найдем