Диаметр выпускаемой детали является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16373
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Диаметр выпускаемой детали является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 𝑎 = 5 см и средним квадратическим отклонением 𝜎 = 0,02 см. Вычислить вероятность того, что размеры случайно выбранной детали будут: а) заключены в границах от 4,975 см до 5,015 см; б) отличатся от своего математического ожидания не более чем на 0,015 (по абсолютной величине). Найти вероятность того, что из двух проверенных деталей, диаметр хотя бы одной отклоняется от математического ожидания не более чем на 0,03 см (по абсолютной величине).

Решение

а) Для нормального закона распределения случайной величины вероятность попадания в заданный интервал (𝛼; 𝛽) равна: 𝑃( где Ф(𝑥) – функция Лапласа, 𝑎 − математическое ожидание; 𝜎 − среднее квадратическое отклонение. Вероятность события 𝐴 – размеры случайно выбранной детали будут заключены в границах от 4,975 см до 5,015 см, равна: б) Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎 меньше любого положительного 𝜀, равна  Вероятность события 𝐵 – размеры случайно выбранной детали будут отличатся от своего математического ожидания не более чем на 0,015 (по абсолютной величине), равна:Воспользуемся формулой: – модуль отклонения случайной величины 𝑋 от своего математического ожидания 𝑎; 𝜀 = 0,03 – заданное отклонение; 𝜎 – заданное среднее квадратическое отклонение; Ф(𝑥) – функция Лапласа. При заданных значениях запишем:  Обозначим события: 𝐴𝑖 − диаметр i-ой детали отклонится от математического ожидания не более чем на 0,03 см; 𝐴𝑖 ̅ − диаметр i-ой детали отклонится от математического ожидания более чем на 0,03 см. Вероятности этих событий определены выше: Основное событие 𝐶 − из двух проверенных деталей диаметр хотя бы одной отклонится от математического ожидания не более чем на 0,03 см (по абсолютной величине). Определим сперва вероятность противоположного события 𝐶̅– диаметр обеих деталей отклонится от математического ожидания не более чем на 0,03 см. По формулам сложения и умножения вероятностей для независимых событий 𝐴1 ̅̅̅ и 𝐴2 ̅̅̅ получим:  Тогда вероятность события 𝐶 равна:  Ответ: