Маша и Даша встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждая приходит в случайный момент времени, ждет другую до истечения

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16085
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Маша и Даша встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждая приходит в случайный момент времени, ждет другую до истечения часа, но не более 20 минут. Найти вероятность того, что встреча не состоится.

Решение

Обозначим момент прихода на встречу первого человека через 𝑥, второго человека через 𝑦. Они могут встретиться в течение часа. Пусть 𝑇 = 60. В силу условия задачи должны выполняться двойные неравенства. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу. В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату со стороной 𝑇. Таким образом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру G, координаты точек которой представляют все возможные значения моментов встречи студентов. Так как пришедший первым первый человек ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Так как пришедший первым второй человек ждет первого в течение 20 минут, после чего уходит, то 𝑡2 = 20. Они встретятся, если: (2) Неравенство (1) выполняется для координат тех точек фигуры G, которые лежат выше прямой 𝑦 = 𝑥 и ниже прямой 𝑦 = 𝑥 + 20; неравенство (2) верно для точек, расположенных ниже прямой 𝑦 = 𝑥 и выше прямой. Как видно из рисунка все точки, координаты которых удовлетворяют неравенствам (1) и (2) принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими моментами времени х и у, когда Маша и Даша могут встретиться. Вероятность события 𝐴̅ – встреча состоится, равна отношению площадей заштрихованной области к площади квадрата. Площадь заштрихованной области 𝑔 определим как разность площади квадрата 𝐺 со стороной 60 и площадями двух прямоугольных треугольников со сторонами 40. Вероятность события 𝐴 − встреча не состоится, равна: 

Ответ: