Построить интервальный ряд и выполнить пункты задания по математической статистике: 1. Представить исходную выборку в виде статистического ряда и изобразить

		Теория вероятностей
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16401
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Построить интервальный ряд и выполнить пункты задания по математической статистике: 1. Представить исходную выборку в виде статистического ряда и изобразить его графически. Привести график эмпирической функции распределения. 2. Определить моду и медиану. 3. Определить точечные оценки для среднего арифметического, дисперсии, среднеквадратического отклонения. 4. Определить квартили Q1 , Q2 , Q3 5. Установить, является ли распределение симметричным, используя коэффициент асимметрии и графический способ Box and Whisker Plot. 6. Определить интервальные оценки для математического ожидания с уровнями значимости α = 0,05 и α = 0,01. 6,9 6,8 8,2 8,8 8,3 8,0 10,0 8,7 13,3 10,0 7,8 6,2 8,1 10,9 12,1 9,5 8,6 9,2 10,5 8,0 7,9 12,1 8,8 7,1 9,8 12,7 8,7 10,3 6,6 9,1 11,5 8,9

Решение

1. Представим исходную выборку в виде статистического ряда (выборки в порядке возрастания) и изобразим его графически.  Число интервалов 𝑘, на которые следует разбить интервал значений признака, найдём по формуле Стерджеса:  где  − объём выборки, то есть число единиц наблюдения.  Рассчитаем шаг (длину частичного интервала) ℎ по формуле:  Округление шага производится, как правило, в большую сторону. Таким образом, принимаем . За начало первого интервала принимаем такое значение из интервала  чтобы середина полученного интервала оказалась удобным для расчетов числом. В нашем случае за нижнюю границу интервала возьмём . В результате получим следующие границы интервалов:  Подсчитаем частоту каждого интервала 𝑚𝑖 , то есть число вариант, попавших в этот интервал. Варианты, совпадающие с границами частичных интервалов, включают в правый интервал. Частости 𝑤𝑖 определим по формуле:  Границы классов Частоты mi Средние точки классов Частости 𝑤𝑖 Накопленные частоты Накопленные частости Сумма:  Изобразим графически интервальный ряд в виде гистограммы частот: Эмпирическая функция распределения выглядит следующим образом  График функции распределения 2. Определим моду и медиану. Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, определяется по формуле: где  – нижнее значение модального интервала; – частота в модальном интервале;  – частота в предыдущем интервале;  – частота в следующем интервале за модальным; ℎ – размах интервала. Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой, т.е. в нашем случае . Тогда  Рассчитаем медиану:  где  – нижняя граница интервала, в котором находится медиана; ℎ – размах интервала;  – накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;  – частота в медианном интервале. Медианный интервал – это тот, на который приходится середина ранжированного ряда, т.е. в нашем случае  3. Определим точечные оценки для среднего арифметического 𝑥̅, дисперсии 𝑆 2 , среднеквадратического отклонения 4. Определим квартили  Нижний и верхний квартили находим по формулам:  где  – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей ), для нашей задачи  – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей ), для нашей задачи  − шаг; – сумма накопленных частот интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль, – то же для верхнего квартиля,  – частота интервала, содержащего нижний квартиль,  – то же для верхнего квартиля, . Тогда  5. Установим, является ли распределение симметричным, используя коэффициент асимметрии и графический способ Box and Whisker Plot. Найдем коэффициент асимметрии Пирсона: По абсолютной величине полученного коэффициента можно сделать вывод, что распределение имеет незначительную правостороннюю (положительную) асимметрию. Применим графический способ Box and Whisker Plot. На числовой оси откладываем значения 𝑥𝑚𝑖𝑛; 𝑥𝑚𝑎𝑥; 𝑄1, 𝑄2, 𝑄3. Так как медиана попадает практически в центр ящика, можно считать распределение симметричным. 6. Определим интервальные оценки для математического ожидания с уровнями значимости  по таблице значений 𝑡𝛼,𝑛 определим:  по таблице значений  определим: Тогда