Урна содержит 10 занумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Шары извлекаются по одному без возвращения

		Математика
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16082
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Урна содержит 10 занумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события: 𝐴 – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, 10; 𝐵 – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения; 𝐶 – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Определить вероятности событии 𝐴, 𝐵, 𝐶. Найти предельные значения вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров.

Решение

По классическому определению вероятности, вероятность события 𝐴 равна  где 𝑚 – число благоприятных исходов, 𝑛 – общее число исходов. а) Основное событие 𝐴 – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, 10. Первым должен быть извлечен шар номер 1 (такой шар 1 из 10): Вторым должен быть извлечен шар номер 2 (такой шар 1 из 9 оставшихся):  Аналогично Вероятность события 𝐴 по формуле произведения вероятностей равна:  б) Основное событие 𝐵 – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения. Определим вероятность противоположного события 𝐵̅ – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Первым должен быть извлечен шар не с номером 1 (таких шаров 9 из 10):  Вычислим вероятность того, что вторым извлекут шар с номером 2. Его не должны извлечь первым и извлечь на втором.  Тогда вероятность того, что вторым извлечется не шар №2:  Найдем вероятность того, что третьим шаром извлечется шар с №3 (т.е. его не должны извлечь при первом и втором извлечении и извлечь на третьем):  И вероятность того, что не извлекут на третьем шар с №3: Аналогично и с другими шарами. Получим, что вероятность того, что отдельный шар будет извлечен в порядке, не соответствующим его номеру:  . Тогда  в) Основное событие 𝐶 – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения. Это событие противоположно событию 𝐵, значит:  Найдем предельные значения вероятностей при бесконечном увеличении числа шаров  Ответ: